一点倾斜怎样在磁体里传成自旋波

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色散关系和能隙

不计阻尼，LLG 方程化为 $\dot m_x=-\gamma_0H_2m_y$ 和 $\dot m_y=\gamma_0H_1m_x$，两个刚度场见下式。对第一式再求一次导，代入第二式，得 $\ddot m_x=-\gamma_0^2H_1H_2m_x$：倾斜以 $\omega=\gamma_0\sqrt{H_1H_2}$ 进动。

$k=0$、零场时，$\mu_0H_1=958\,\mathrm{mT}$，$\mu_0H_2=927\,\mathrm{mT}$，最低频率 $f_0=\omega/2\pi=26.4\,\mathrm{GHz}$。沿磁畴方向加 40 mT，能隙升到 27.5 GHz。低于能隙时，天线只能在身边激起一点很快消失的倾斜。

反过来，从频率求波长。零场、60 GHz 时，由 $(\gamma_0H_1)(\gamma_0H_2)=\omega^2$ 解出 $H_{\mathrm{ex}}$：需要 $\mu_0H_{\mathrm{ex}}=1.20\,\mathrm{T}$，于是 $k=0.203\,\mathrm{nm^{-1}}$，波长 30.9 nm。10 nm 的波需要 11.5 T 的交换场，频率是 348 GHz。

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阻尼让波数变成复数

天线以一个实频率驱动薄膜。有 Gilbert 阻尼时，进动方程里的每个 $\gamma_0H$ 都变成 $\gamma_0H-i\alpha\omega$，条件变为 $(\gamma_0H_1-i\alpha\omega)(\gamma_0H_2-i\alpha\omega)=\omega^2$。令 $X=\gamma_0H_{\mathrm{ex}}-i\alpha\omega$，这是关于 $X$ 的实系数二次方程，$X$ 为实数，于是 $k^2$ 多出一个正比于 $\alpha\omega$ 的虚部。

$k$ 的实部给出波长 $\lambda=2\pi/\mathrm{Re}\,k$；虚部给出振幅衰减为 $1/e$ 所走的距离 $\ell=1/\mathrm{Im}\,k$。

在 1 nm 的链上，零场、60 GHz：$\alpha=0.1$ 时 $\lambda=30.7\,\mathrm{nm}$，$\ell=55.1\,\mathrm{nm}$；换成薄膜本身的 $\alpha=0.5$，$\lambda=28.6\,\mathrm{nm}$，$\ell=11.9\,\mathrm{nm}$，不到半个波长就衰减掉了。自旋波预设因此把阻尼降到 0.1，这是为了让波看得见而假设的值。

实验中天线在 60 GHz 激发的波，链上测得 30.75 nm，带阻尼的公式给 30.74 nm。基准测试不用闭式解，而用牛顿迭代解同一个条件，在 40、60、100、150 GHz 下与链的波长相差 0.07% 以内，衰减长度相差 0.6% 以内。