斯格明子为什么有确定的大小和整数拓扑荷

DMI 让畴壁变便宜，但能量仍为正

第 4 章给出了单位面积的畴壁能。不计那个小的难轴项，手性正确的 Néel 壁能量为 $\sigma=4\sqrt{AK_0}-\pi D$（Rohart 与 Thiaville 2013，式 10）。这层膜的 $4\sqrt{AK_0}=11.4\,\mathrm{mJ/m^2}$，所以 $D=3.0\,\mathrm{mJ/m^2}$ 时畴壁只要每平方米 2.0 mJ。

畴壁能在 $D_c=4\sqrt{AK_0}/\pi=3.64\,\mathrm{mJ/m^2}$ 处降到零。超过它，畴壁反而降低能量，薄膜会碎成摆线状结构。低于它，均匀磁化才是基态。这时斯格明子是一种能量更高、但稳定的纹理：小的扰动去不掉它，可它也不是能量最低的状态。Rohart 与 Thiaville 提到，这类斯格明子被称为孤立斯格明子。实验把 $D$ 限制在每平方米 2.8 到 3.4 mJ，低于 $D_c$。

拓扑荷数的是什么

把膜上每一点映射到它的磁矩方向，也就是单位球面上的一点。均匀磁化的膜全部映到北极。斯格明子的磁矩从核心处的南极出发，经过畴壁里赤道上的所有方向，在远处回到北极：它把球面恰好覆盖一次。拓扑荷数的就是覆盖的次数，并按取向带上正负号（Kim 与 Mulkers 2020，式 1）。

对绕方位角转一圈的径向剖面 $\theta(r)$，积分化为 $Q=\tfrac12[\cos\theta(0)-\cos\theta(\infty)]$。向上膜中的向下核心给出 $Q=-1$，向下膜中的向上核心给出 $+1$。

Abert 指出了它的后果：斯格明子无法通过磁化的连续变化变成均匀态。在网格上，这种保护只是近似成立的，本章余下部分讲的就是这一点。

开放边缘让拓扑荷偏离整数，这并不是出错

有 DMI 时，自由边缘上的磁矩无法保持垂直。Rohart 与 Thiaville 推出了边界条件（式 4b、6），并给出直边处的倾斜 $\sin\theta_{\mathrm{edge}}=\Delta/\xi$，$\xi=2A/D$（式 8）。$D=3.0\,\mathrm{mJ/m^2}$ 时 $\xi=10.7\,\mathrm{nm}$，边缘磁矩倾斜到 $\sin\theta_{\mathrm{edge}}=0.525$，向膜内约经过 $\Delta$ 的距离消失。

倾斜的边缘磁矩覆盖了球面的一部分，所以有开放边缘时，两种定义都不必给出整数。在斯格明子实验 60 nm 宽的赛道里，斯格明子居中时晶格拓扑荷为 −0.999935，离下边缘 23.6 nm 时为 −0.999631；换成 1 nm 格子，分别是 −0.999937 和 −0.999636。格子减半，这点亏缺不变，说明它来自边缘而不是网格。没有斯格明子的赛道两种定义都给 0，因为直边沿整个长度倾斜方式都一样。

Kim 与 Mulkers 在一个边缘弯曲的 200 nm 圆盘里看到更大的偏离：零温下有限差分为 −0.9305，晶格方法为 −0.9468，他们把它归因于边缘倾斜。他们的结论是：在带手性边缘的受限结构里，非整数的拓扑荷要谨慎解读。本课程把这一点定为规则：靠近边缘时拓扑荷偏离整数，首先说明的是边缘；其中是否有一部分属于数值误差，只有网格测试才能判断。