磁矩先绕着磁场转，然后才停下

磁矩、磁场和运动方程

铁磁体里电子自旋叠加成磁化强度 $\mathbf{M}=M_s\mathbf{m}$。它的大小即饱和磁化强度 $M_s$，由材料决定；微磁学只追踪它的方向，也就是单位矢量 $\mathbf{m}$。磁场 $\mathbf{H}$ 的单位是安培每米，文中用毫特斯拉表示 $\mu_0H$。

电子自旋带有角动量，所以磁场转动它的方式，和在蜂蜜里拨动指南针不一样：力矩改变的是角动量，而角动量就是磁矩本身。不计阻尼，得到 Landau-Lifshitz-Gilbert 方程的第一项（Abert 2019，式 117）。旋磁比取 muMAG 标准问题采用的 $\gamma_0=2.211\times10^{5}\,\mathrm{m\,A^{-1}\,s^{-1}}$。

磁矩为什么绕圈

叉乘同时垂直于两个因子，因此 $\mathbf{m}$ 的变化垂直于 $\mathbf{m}$，长度保持为 1；又垂直于 $\mathbf{H}$，两者夹角 $\theta$ 保持不变。$\mathbf{m}$ 的端点只能沿半径为 $\sin\theta$ 的圆绕磁场跑，这就是进动。

端点速率是 $|\mathrm{d}\mathbf{m}/\mathrm{d}t|=\gamma_0H\sin\theta$，除以半径得角速度 $\omega=\gamma_0H$，与倾角无关。换算成频率，每特斯拉的 $\mu_0H$ 对应 28.0 GHz。

阻尼把圆圈变成螺旋

真实磁体会把能量交给晶格和传导电子。Gilbert 加了一项阻碍运动的项 $\alpha\,\mathbf{m}\times\dot{\mathbf{m}}$，其中无量纲阻尼 $\alpha$ 很小。把 $\dot{\mathbf{m}}$ 解出来，得到下面的显式形式（Abert 2019，式 118），第二项从 $\mathbf{m}$ 指向磁场。

磁矩在磁场中的能量密度是 $E=-\mu_0M_s\,\mathbf{m}\cdot\mathbf{H}$。代入显式形式可知它只降不升，速率为 $\dot{E}=-\alpha\gamma_0\mu_0M_s|\mathbf{m}\times\mathbf{H}|^2/(1+\alpha^2)$（Abert 2019，式 121 至 124）。$\alpha=0$ 时能量守恒，磁矩永远转下去。

实验里的磁体为什么不一样

单畴实验研究的是 muMAG 第 4 号标准问题中的那块纳米磁体：长 500 nm、宽 125 nm、厚 3 nm，$M_s=800\,\mathrm{kA/m}$，$\alpha=0.02$，并把它当成一个整体转动的磁矩。这个磁矩感受到的不只是外加的均匀磁场：磁体自己会产生很强的磁场，大小随磁矩指向而变。下一章算出这个场，并解释为什么不加外场，磁矩也会以 4.66 GHz 振荡。