交换作用让磁化平滑，也决定网格要多细

交换能和交换场

铁磁体中相邻自旋倾向于平行。到了连续介质里，这变成能量密度 $A(\nabla\mathbf{m})^2$ （Abert 2019，式 10），交换劲度 $A$ 的单位是焦耳每米。均匀磁化不花能量；扭转越急，代价越高。

进入 Landau-Lifshitz-Gilbert 方程的有效场，等于能量对磁化求导取负号，再除以 $\mu_0M_s$ 。对交换能，结果是 $(2A/\mu_0M_s)\nabla^2\mathbf{m}$ ：把每个磁矩拉向邻居平均方向的场。

E_{\mathrm{ex}}=A\int(\nabla\mathbf{m})^2\,\mathrm{d}V,\qquad \mathbf{H}_{\mathrm{eff}}=-\frac{1}{\mu_0M_s}\frac{\delta E}{\delta\mathbf{m}},\qquad \mathbf{H}_{\mathrm{ex}}=\frac{2A}{\mu_0M_s}\nabla^2\mathbf{m}

完整例题

同一个场，放到一串格子上

把薄膜条沿 $x$ 切成长度为 $a$ 的格子，每格一个方向 $\mathbf{m}_i$ ，用相邻格子之差代替梯度。每条键跨过长度 $a$ ，梯度平方约为 $|\mathbf{m}_{i+1}-\mathbf{m}_i|^2/a^2$ ，所以单位截面的能量是 $E/S=(A/a)\sum_i|\mathbf{m}_{i+1}-\mathbf{m}_i|^2$ 。

第 $i$ 格出现在两条键里。求导得 $\partial(E/S)/\partial\mathbf{m}_i=(2A/a)(2\mathbf{m}_i-\mathbf{m}_{i+1}-\mathbf{m}_{i-1})$ ，再除以 $-\mu_0M_sa$ （一个格子的体积因子），就得到下面的场：它正是把连续交换场中的二阶导数换成中心差分。

畴壁实验就是这样搭起来的。它的第一项检验对离散能量做数值求导，交换场与能量梯度的负值相差不到十亿分之九。斯格明子实验在二维网格上做同样的事。

\mathbf{H}_{\mathrm{ex},i}=\frac{2A}{\mu_0M_s}\,\frac{\mathbf{m}_{i+1}+\mathbf{m}_{i-1}-2\mathbf{m}_i}{a^2}

交换作用定出的长度

只有交换作用，一切都会变均匀。它要和偏爱磁化弯曲的能量竞争。与杂散场平衡，得到交换长度 $\ell_{\mathrm{ex}}=\sqrt{2A/(\mu_0M_s^2)}$ ；与垂直各向异性 $K_0$ 平衡，得到畴壁宽度参数 $\Delta=\sqrt{A/K_0}$ 。

标准问题磁体 $A=13\,\mathrm{pJ/m}$ 、 $M_s=800\,\mathrm{kA/m}$ ，交换长度为 5.69 nm。后面几章用的 Pt/Co 薄膜 $A=16\,\mathrm{pJ/m}$ 、 $M_s=1.1\,\mathrm{MA/m}$ 、 $K_0=510\,\mathrm{kJ/m^3}$ ，交换长度为 4.59 nm， $\Delta=5.60\,\mathrm{nm}$ 。这些薄膜中的畴壁和斯格明子都在这个尺度上转向，格子要多小，也就有了标准。

\ell_{\mathrm{ex}}=\sqrt{\frac{2A}{\mu_0M_s^{2}}}=4.59\,\mathrm{nm},\qquad \Delta=\sqrt{\frac{A}{K_0}}=5.60\,\mathrm{nm}\quad(\text{Pt/Co})

格子错在哪里，错多少

把 $\mathbf{m}(x\pm a)$ 做泰勒展开。中心差分里奇次项互相抵消，剩下 $(\mathbf{m}_{i+1}+\mathbf{m}_{i-1}-2\mathbf{m}_i)/a^2=\mathbf{m}''+a^2\mathbf{m}''''/12+\dots$ 。主误差正比于 $a^2$ 和四阶导数；纹理在几纳米内转弯的地方，四阶导数就大。相对误差因此大致按 $(a/\Delta)^2$ 变化。

Miltat 和 Donahue 用一个要求严格的算例得出同样的实用规则：格子要明显小于交换长度，才能充分收敛。我们只读了他们那一章的摘要，所以课程只引用这条结论，不引用具体数字。

\frac{\mathbf{m}_{i+1}+\mathbf{m}_{i-1}-2\mathbf{m}_i}{a^2}=\mathbf{m}''+\frac{a^2}{12}\,\mathbf{m}''''+O(a^4)

完整例题

格子减半，读出收敛阶

若误差 $e(a)\approx Ca^p$ ，则 $e(a)/e(a/2)=2^p$ ，实测收敛阶 $p=\log_2[e(a)/e(a/2)]$ 。二阶方法的比值应在 4 附近。

畴壁实验把静止 Bloch 壁的能量与精确值 $4\sqrt{AK_0}=11.42\,\mathrm{mJ/m^2}$ 比较。格子取 2、1、0.5、0.25 nm 时，能量分别偏低 0.54%、0.133%、0.033%、0.0083%。相邻比值为 4.06、4.01、4.00，即 $p=2.02$ 、2.01、2.00。畴壁被分辨开了，误差预算也就清楚了。

不随格子缩小的差距，就不是网格误差。斯格明子基准中 $D=3.4\,\mathrm{mJ/m^2}$ 时，弛豫后的斯格明子在 2 nm 格子上比孤立剖面小 10.0%，在 1 nm 格子上小 9.1%，格子减半只动了 1 个百分点。剩下的差距来自模型本身：薄膜在横向每 60 nm 重复一次，自由半径 17.3 nm 的斯格明子会感受到自己的周期像。

p=\log_2\frac{e(a)}{e(a/2)}:\qquad \frac{0.54\%}{0.133\%}=4.06,\quad\frac{0.133\%}{0.033\%}=4.01,\quad\frac{0.033\%}{0.0083\%}=4.00

为什么要共享标准算例

收敛只说明离散模型逼近了它自己的连续模型，并不说明两套程序解的是同一个连续问题，更不说明连续模型描述了真实器件。NIST 因此发布微磁学标准问题，并维护公开的参考程序 OOMMF：不同团队计算同一道规定好的题，再相互比较。本课程的几个实验只借用其中一道题的几何和常数，检验时对照的是解析极限。

交换作用让磁化平滑，也决定网格要多细

交换能和交换场

同一个场，放到一串格子上

交换作用定出的长度

格子错在哪里，错多少

格子减半，读出收敛阶

为什么要共享标准算例

先预测，再改变，最后解释

试着自己解释

1. 计算 $A=16\,\mathrm{pJ/m}$ 、 $M_s=1.1\,\mathrm{MA/m}$ 时的交换长度。

2. 用 1、0.5、0.25 nm 格子计算自由边缘倾斜，与连续值分别相差 0.133%、0.035%、0.0090%。实测收敛阶是多少？0.125 nm 时误差预计多大？

3. 格子减半后结果只变了 1%，但它和参考值差 9%。你该去找什么？

可以放在旁边读的来源

交换能和交换场

同一个场，放到一串格子上

交换作用定出的长度

格子错在哪里，错多少

格子减半，读出收敛阶

为什么要共享标准算例

先预测，再改变，最后解释

试着自己解释

1. 计算 A=16 pJ/mA=16\,\mathrm{pJ/m}A=16pJ/m、Ms=1.1 MA/mM_s=1.1\,\mathrm{MA/m}Ms​=1.1MA/m 时的交换长度。

2. 用 1、0.5、0.25 nm 格子计算自由边缘倾斜，与连续值分别相差 0.133%、0.035%、0.0090%。实测收敛阶是多少？0.125 nm 时误差预计多大？

3. 格子减半后结果只变了 1%，但它和参考值差 9%。你该去找什么？

可以放在旁边读的来源

1. 计算 $A=16\,\mathrm{pJ/m}$ 、 $M_s=1.1\,\mathrm{MA/m}$ 时的交换长度。