外场推畴壁，速度有上限

畴壁和它的两个坐标

取一条沿 $x$ 的 Pt/Co 薄膜，左边向上（$+z$）磁化，右边向下。两个磁畴之间，磁化在由交换和各向异性决定的宽度内翻转，剖面为 $\theta(x)=2\arctan e^{(x-q)/\Delta}$，$\Delta=\sqrt{A/K_0}=5.60\,\mathrm{nm}$（Mougin 等 2007，式 1a、1b）。Thiaville 等在正文里给的是 5.65 nm；用他们给出的参数重算，得 5.60 nm。

畴壁中心的磁矩躺在膜面内，与 $+x$ 的夹角为 $\Phi$。$\Phi=0$ 时沿条带方向，是 Néel 壁；$90^{\circ}$ 时横跨条带，是 Bloch 壁。畴壁自身的杂散场通过一个小的难轴能 $K=N_x\mu_0M_s^2/2=17.0\,\mathrm{kJ/m^3}$ 偏爱 Bloch 壁，$N_x=0.0224$ 取自 Thiaville 等。界面 DMI 则偏爱手性固定的一种 Néel 壁。

本章只用两个数描述畴壁：位置 $q$ 和角度 $\Phi$。Thiaville 等把单位面积的畴壁能写成 $\sigma=2\Delta K\cos^2\Phi-\pi D\cos\Phi+\mathrm{const}$。当 DMI 超过临界值 $D_c=4\Delta K/\pi$ 时，能量最低点从 Bloch 壁移到 Néel 壁；按我们的参数，这个值是每平方米 0.12 mJ。

两个坐标，两个方程

把刚性剖面代入 Landau-Lifshitz-Gilbert 方程，再对整个畴壁积分，得到两个方程（Thiaville 等 2012，式 4、5）。第一个说：外场 $H$ 转动畴壁磁矩，其中一部分被运动消耗。第二个说：磁矩一旦偏离能量偏爱的角度，畴壁就会移动。

右边的两个场是难轴场 $H_K=2K/(\mu_0M_s)$，31.0 mT；以及 DMI 场 $H_D=\pi D/(2\mu_0M_s\Delta)$，$D=0.5\,\mathrm{mJ/m^2}$ 时为 127 mT。

超过 Walker 场，磁矩不停地转

超过 $H_W$ 就不存在稳定角度了。从两个方程中消去 $\dot q$，得 $(1+\alpha^2)\dot\Phi=\gamma_0(H-\alpha H_D\sin\Phi+\alpha H_K\sin\Phi\cos\Phi)$。括号大的地方磁矩转得快，小的地方转得慢，畴壁也随之前后摆动。

没有 DMI 时括号为 $H+H_W\sin2\Phi$。对 $\mathrm{d}\Phi/(H+H_W\sin2\Phi)$ 在一个周期内积分，得到转一整圈的时间（推导由我们给出）；再对一圈内的 $\dot q$ 求平均，得到平均速度。远高于 $H_W$ 时它趋于 $\gamma_0\Delta\alpha H/(1+\alpha^2)$，即 Mougin 等的式 16。

30 mT（Walker 场的四倍左右）时，公式给出平均速度 13.4 m/s，每 1.54 ns 转一圈；而 5 mT 时稳态公式给出 9.85 m/s。外场加到六倍，速度只多了四成。链给出的转动周期与公式相差 0.1%，平均速度相差 1.2%。

一维畴壁省略了什么

实验中的链没有条带边缘，杂散场也只是那一个局域项。Thiaville 等把一维模型与二维模拟做过比较：条带宽至 500 nm、D 低于每平方米 0.5 mJ 时，畴壁既不倾斜，也不沿长度方向扭转；畴壁宽度、Walker 场等量只有小的变化，主要来自局域杂散场的假设。Walker 场以上出现一些小差别，来自畴壁在横向上的自由度，条带越宽、D 越大越明显。Mougin 等还指出，薄的垂直磁化膜在低场下通常由钉扎主导，畴壁以蠕动方式前进；模型没有包含钉扎。