固定概率与固定时间，以及更好的突变为何常常输掉

选择让抽签倾斜

给每个 $A$ 个体相对适应度 $1+s$ ， $s$ 叫选择系数。在 Wright–Fisher 抽样中，后代挑到 $A$ 亲本的概率从 $p$ 变成 $p'$ 。 $s$ 为正时突变型占便宜，为负时吃亏。

每代的平均变化约为 $s\,p(1-p)$ ，把频率往固定方向推。随机的部分和以前一样，方差是 $p(1-p)/N$ 。一代之内的推力比随机步长大，选择才占上风，也就是 $|Ns|$ 要大。

p'=\frac{p(1+s)}{1+sp},\qquad \mathrm{E}[\Delta p]\approx s\,p(1-p),\qquad \mathrm{Var}[\Delta p]\approx\frac{p(1-p)}{N}

一代之内变化的均值和方差，保留到选择系数的一阶。

来源：K. S. Korolev · O. Hallatschek and D. R. Nelson

Moran 模型的精确解

Moran 模型每次只换一个个体：按适应度的比例挑一个个体繁殖，再均匀地挑一个个体死去。突变型的数目每一步加一、减一或不变，所以这是一条生灭链。

记 $\phi_i$ 为 $i$ 个突变型最终占满种群的概率。看第一次让 $i$ 改变的那一步，就得到一个递推式，边界条件是 $\phi_0=0$ 、 $\phi_N=1$ 。它的解只依赖于“减一”与“加一”两个概率之比，适应度恒为 $r$ 时这个比值是 $1/r$ 。中性时它化为 $\phi_i=i/N$ ，和上一章一致。

Moran 模型的一代是 $N$ 步。倒着追溯，它的谱系每代合并的速度是 Wright–Fisher 的两倍，所以漂变也强一倍。同样的 $s$ ，固定概率大约只有一半。

\phi_i=\frac{1-r^{-i}}{1-r^{-N}},\qquad r=1+s

i

个相对适应度为

r

的突变型占满

N

个体 Moran 种群的概率。

来源：A. Traulsen and C. Hauert · N. Berestycki

Wright–Fisher 模型的扩散公式

有选择时，Wright–Fisher 链没有闭式解，但可以数值精确求解； $N$ 较大时还有一个好用的近似。记 $u(p)$ 为从频率 $p$ 出发的固定概率。过一代，频率随机走一小步，而 $u$ 必须等于它在这一步上的平均。把这一步展开到二阶，就得到下面的方程。

两边除以 $p(1-p)/(2N)$ ，得 $u''=-2Ns\,u'$ ，所以 $u'$ 按 $e^{-2Nsp}$ 衰减。积分一次，再用 $u(0)=0$ 、 $u(1)=1$ 定常数，就得到右边的结果。大种群中的单个突变型， $Ns$ 大时固定概率接近 $2s$ ， $Ns$ 小时接近 $1/N$ 。

\frac{p(1-p)}{2N}\,u''(p)+s\,p(1-p)\,u'(p)=0\ \Longrightarrow\ u(p)=\frac{1-e^{-2Nsp}}{1-e^{-2Ns}}

Wright–Fisher 固定概率的扩散近似。

来源：O. Hallatschek and D. R. Nelson · N. Berestycki

完整例题：五十个个体中百分之五的优势

题目。 $N=50$ 的种群里出现一个 $s=0.05$ 的突变型。在 Wright–Fisher 模型中它固定的概率是多少？成功固定的突变型要多久？

扩散近似。 $2Ns=5$ ， $p=0.02$ ， $u=(1-e^{-0.1})/(1-e^{-5})=0.0958$ 。

精确解。写出 $51\times51$ 的转移矩阵，解吸收概率的线性方程组，得 $0.0941$ 。扩散公式偏高 $1.8$ 个百分点。同样 $N$ 、 $r=1.05$ 的 Moran 公式给出 $0.0522$ ，约为一半，和它更强的漂变相符。

时间。精确链给出：最终固定的突变型平均用 $75.8$ 代；同一种群里的中性突变型要 $97.0$ 代。成功的有利突变型涨得更快。

检验。Lab 预设“更好，却常常丢失”跑了 $12000$ 个固定种子的重复种群，突变型固定的比例是 $0.0948\pm0.0027$ ，平均用时 $77.6\pm1.1$ 代。比例与精确值相差不到四分之一个标准误；时间偏高 $1.6$ 个标准误，属于正常起伏。

结论。十个有利突变型里有九个以上会丢。经验公式 $2s$ 给出 $0.1$ ，已经很接近。

来源：A. Traulsen and C. Hauert · O. Hallatschek and D. R. Nelson

漂变什么时候压过选择

看乘积 $Ns$ 。 $20$ 个个体的种群里， $s=-0.05$ 的有害突变型从 $p=0.3$ 出发，精确固定概率仍有 $0.1255$ ，远不为零；Lab 测得 $0.1304\pm0.0031$ 。 $100$ 个个体的种群里， $s=0.05$ 的突变型从 $p=0.1$ 出发，固定概率是 $0.625$ ，是起始频率的六倍多。

五个 Lab 预设的模拟固定比例和固定时间，都按标准误给出的幅度散布在精确值周围。这只检验了模拟与同一模型的精确链是否一致；真实种群是否像 Wright–Fisher 抽样那样演化，是另一个问题。

来源：K. S. Korolev · A. Traulsen and C. Hauert

到实验里试一试

看一个更好的突变型怎样丢失

选“更好，却常常丢失”。先预测突变型固定的比例，再看精确值。
把选择系数调到零，其余不变。预测比例会降多少，再看结果。
选“大一点的种群里选择获胜”，然后把种群大小往十调。用种群大小与选择系数的乘积解释，为什么这时随机抽样压过了优势。

练习与解答

$N=10$ 的 Moran 种群里有一个相对适应度 $r=1.1$ 的突变型。它的固定概率是多少？和中性突变型比呢？
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$\phi_1=(1-1/1.1)/(1-1.1^{-10})=0.0909/0.6145=0.148$ 。中性突变型的固定概率是 $0.1$ ，优势让机会多了大约一半。
用扩散公式算： $N=1000$ 的 Wright–Fisher 种群里，一个 $s=0.01$ 的突变型。
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此时 $p=0.001$ ， $2Ns=20$ 。 $u=(1-e^{-0.02})/(1-e^{-20})=0.0198$ ，几乎正好是 $2s$ ：每 $100$ 个这样的突变型约有 $98$ 个丢失。
Lab 用 $12000$ 个种群估计出约 $0.094$ 的固定概率。二项标准误是多少？要把它降到 $0.001$ ，需要多少个种群？
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$\sqrt{0.094\times0.906/12000}=0.0027$ 。误差按运行次数平方根的倒数下降，所以降到 $0.001$ 需要 $0.094\times0.906/0.001^2\approx85000$ 个种群。

来源与复算范围

K. S. Korolev, M. Avlund, O. Hallatschek and D. R. Nelson, Genetic demixing and evolutionary forces in the one-dimensional stepping stone model, arXiv:0904.4625v2 (2011)
第 2 版，全文。第 II 节“充分混合种群的群体遗传学”：把遗传漂变看作对有限种群的随机抽样，把杂合度定义为随机抽两个个体不同的概率，并讨论它怎样随时间丢失。
A. Traulsen and C. Hauert, Stochastic evolutionary game dynamics, arXiv:0811.3538v1 (2008), in Reviews of Nonlinear Dynamics and Complexity, Vol. II
第 1 版，全文。第 1.3.1 节：把 Moran 过程写成带转移概率的生灭链。第 1.3.2 节，式 (1.7)—(1.20)：由递推式求固定概率，式 (1.20) 给出闭式解，中性时化为初始频率。式 (1.26)—(1.35)：平均固定时间与条件固定时间。
N. Berestycki, Recent progress in coalescent theory, arXiv:0909.3985v1 (2009), Ensaios Matemáticos, Sociedade Brasileira de Matemática
第 1 版，全文。第 2.1.1 节：Kingman 溯祖过程，每一对谱系以速率一合并。定理 2.3：Moran 模型的谱系在时间重标后成为这一过程。定理 2.4：以 $N$ 代为时间单位时，Wright–Fisher 模型的谱系也收敛到它。定理 2.8，式 (36)—(38)：中性等位基因的固定概率等于它的频率，并给出平均吸收时间的扩散公式；定理之后的公式给出以固定为条件的时间。
O. Hallatschek and D. R. Nelson, Life at the front of an expanding population, arXiv:0810.0053v2 (2008)
第 2 版，全文。式 (41)：选择优势让扇区边界在扩散之外多一个平均漂移。式 (42)：这个漂移等于 $\tan(\Phi/2)$ ， $\Phi$ 是扇区张角。式 (46)： $\cos(\Phi/2)$ 等于野生型与突变型前沿速度之比。式 (49)：线状前沿上有利扇区的存活概率；其脚注 4 指出它在形式上与充分混合种群中 Kimura 的固定概率相同。