遗传漂变让中性基因占满有限种群

随机复制自己的种群

设种群有 $N$ 个个体，每个个体带一份某个基因，这个基因有两个版本，叫等位基因：突变型 $A$ 和原型 $a$。记 $A$ 的个数为 $i$，频率为 $p=i/N$。时间按代计，后代出生时亲代死去。

下一代的 $N$ 个成员各自从当前一代里随机挑一个亲本，每个亲本被挑中的机会相同，然后复制它的等位基因。各次挑选相互独立。于是带 $A$ 的后代数服从二项分布：做 $N$ 次试验，每次成功的概率是 $p$。这就是 Wright–Fisher 模型。

规则里没有偏向任何一个等位基因。频率的每一次变化都来自抽签的运气，群体遗传学把它叫作遗传漂变。

来源：K. S. Korolev · N. Berestycki

平均值不动，散布越来越大

做 $N$ 次试验的二项计数，均值为 $Np$，方差为 $Np(1-p)$。除以 $N$，就得到下一代的频率：

均值不变。每一代加上一个随机步长，典型大小为 $\sqrt{p(1-p)/N}$，这些步子像随机游走一样累积起来。频率一碰到 $0$ 或 $1$，游走就结束了：种群里一个拷贝都没有的等位基因，再也抽不回来。这时它要么丢失，要么固定。

现在对许多从同一个 $p_0$ 出发的种群求平均。平均频率每一代都一样，到最后仍然等于 $p_0$。而到最后，每个种群都停在 $0$ 或 $1$，平均值就是到达 $1$ 的种群所占的比例。所以中性等位基因固定的概率是 $u(p_0)=p_0$。

来源：N. Berestycki · K. S. Korolev

杂合度：随机抽两个个体，它们不同的概率

为了跟踪多样性，有放回地随机抽两个个体。它们带不同等位基因的概率是 $H=2p(1-p)$，叫作杂合度。$p=1/2$ 时它最大，一个等位基因固定后它为零。

对下一代求 $H$ 的平均。新频率平方的均值等于均值的平方加上方差，即 $\mathrm{E}[p_{t+1}^2]=p_t^2+p_t(1-p_t)/N$。代进去，得到一行递推式：

每过一代，期望多样性少掉 $1/N$。五十个个体的种群，过 $50$ 代还剩约 $e^{-1}\approx0.37$。种群大十倍，所需时间也长十倍。

来源：K. S. Korolev

完整例题：五十个个体里的一个中性突变

题目。$N=50$ 的种群里起初只有一个中性突变型。它固定的概率是多少？如果固定，平均要多久？$50$ 代后还剩多少多样性？

固定概率。起始频率 $p_0=1/50=0.02$，所以 $u=0.02$。每 $50$ 个种群里有 $49$ 个会丢掉这个突变。

时间。$N$ 较大时，频率的变化像扩散，一个扩散时间单位等于 $N$ 代 Wright–Fisher 世代。只统计突变最终固定的那些种群，平均固定时间由下式给出。$p=0.02$ 时得 $99.0$ 代。精确求解有限的 Wright–Fisher 链得到 $96.97$ 代；扩散公式把 $N$ 当成很大，所以偏高几个百分点。

多样性。$H_0=2\times0.02\times0.98=0.0392$，$50$ 代后 $H_{50}=0.0392\times0.98^{50}=0.0143$。

检验。漂变 Lab 把这个情形跑成 $12000$ 个固定种子的重复种群。突变型固定的比例是 $0.0212\pm0.0013$，与 $0.02$ 相差不到一个标准误；固定的那些种群平均用了 $96.2\pm3.4$ 代。

来源：N. Berestycki · K. S. Korolev