慢慢转弯和突然掉头能散得一样快吗

先把方向、单位和随机量说清楚

粒子在平面上运动，位置用长度单位，时间另定单位；朝向角从水平正方向逆时针量起，采用弧度。活性布朗粒子以固定速度朝前游，角度不断受随机扰动。位置还可以叠加普通布朗扩散。

下面两个位置随机增量和一个角度随机增量彼此独立，平均值为零，方差等于时间步长。平动扩散系数的单位是长度平方除以时间，转动扩散系数的单位是时间的倒数。先把邻居、外力和墙都拿掉，只检验自由运动。

d\mathbf r=v_0(\cos\theta,\sin\theta)\,dt+\sqrt{2D_t}\,d\mathbf W,\qquad d\theta=\sqrt{2D_r}\,dW_\theta

角度做布朗扩散时，新旧角度之差服从高斯分布，方差随时间增长。对这个角度差的余弦求平均，得到指数衰减，衰减时间就是转动扩散系数的倒数。

另一种粒子先直行，等一次随机事件到来，再从所有方向里均匀抽取一个新朝向。这叫 run-and-tumble，中文常说游动—翻滚。只要翻滚已经发生，新方向就忘了旧方向；方向相关只来自“到现在还没翻滚”的那部分粒子。这个概率同样按指数衰减。

二维情况下，把瞬时、完全随机翻滚的速率设成转动扩散系数，两条方向相关曲线就重合了。若每次只转一小角，或者翻滚本身需要时间，就要按新的转向过程重新计算。

C(t)=\langle\mathbf n(t)\cdot\mathbf n(0)\rangle=e^{-t/\tau},\qquad \tau_{\rm ABP}=D_r^{-1},\quad\tau_{\rm RTP}=\alpha^{-1}

位移等于速度随时间的积分。把位移平方，会得到对两个时刻的二重积分；稳定自由运动中，速度相关只依赖两时刻相差多久，二重积分便可化成下面的一重积分。

结果里第一项是平动布朗扩散，第二项来自自推进。短时间展开指数，活性部分随时间平方增长；长时间看曲线斜率，有效扩散系数等于平动扩散系数，再加上速度平方乘持续时间的一半。这里的一半来自二维。

\begin{aligned}\langle|\Delta\mathbf r(t)|^2\rangle&=4D_t t+2v_0^2\int_0^t(t-s)e^{-s/\tau}\,ds\\&=4D_t t+2v_0^2\tau\left[t-\tau(1-e^{-t/\tau})\right].\end{aligned}

完整例题

选定长度和时间单位，让游动速度为 2，持续时间为 0.5，平动扩散系数为 0.1。经过一个时间单位，被动部分贡献 0.4，活性部分约贡献 2.271，总均方位移约为 2.671。

用许多独立种子重复模拟，再拿平均结果来比较。缩小时间步长，系统误差应当减小；增加重复次数，抽样波动应当变小。还可以把自推进关掉，此时只剩普通二维布朗扩散，检验更直接。

邻居之间的对齐是另外一种相互作用。极性对齐让大家朝同一个方向，向列对齐则把一个方向和它的反向当成等价。检验自由运动公式时先关掉对齐，才知道偏差来自运动算法还是相互作用。

\langle|\Delta\mathbf r(1)|^2\rangle=0.4+4\left[1-\tfrac12(1-e^{-2})\right]\approx2.671