从一幅取向图算出周围的流动

用两个数保存一根无头尾的轴

取一个对称、迹为零的二维矩阵。指向角决定两个独立分量，标量有序度表示排列有多整齐。把所有细棒掉头，矩阵不变。这里约定完全有序时标量为一，水平排列的对角分量则为二分之一。

有些论文把二分之一吸收到有序度定义中。比较活性参数前，应先对齐定义；下面的推导固定使用这个约定。

Q=S\left(\mathbf n\mathbf n-\frac12I\right)=\frac S2\begin{pmatrix}\cos2\theta&\sin2\theta\\\sin2\theta&-\cos2\theta\end{pmatrix}

约定活性应力等于负的活性系数乘向列张量，正活性系数表示伸展型。周期区域里的均匀取向产生均匀应力，应力的散度为零，便没有体内净作用力。取向弯曲或有序度改变，才会出现应力梯度。

压力随之调节，流体不会在某处凭空挤紧。黏性抵抗速度梯度，底面摩擦抵抗速度本身。这就是带屏蔽的 Stokes 方程：每个时刻直接平衡受力，不保留流体加速度。摩擦是这里为教学模型增加的物理项，与 Giomi 2015 年论文的无底面摩擦背景有别。

\sigma^{\rm a}_{ij}=-\zeta Q_{ij},\quad f_i=\partial_j\sigma^{\rm a}_{ij},\qquad -\nabla p+\eta\nabla^2\mathbf u-\Gamma\mathbf u+\mathbf f=0,\quad\nabla\cdot\mathbf u=0

傅里叶模式就是方向和波长已知的正弦图案，空间求导可以换成乘上对应波矢分量。把力拆成平行波矢和垂直波矢两部分，压力抵消前者，只剩后者驱动不可压缩速度。

把剩下的力除以“黏度乘波数平方，再加摩擦”，就得到速度的幅度和相位。周期模型没有外加净通流时，把零波数的平均速度设为零。

\widehat{\mathbf u}(\mathbf k)=\frac{\left(I-\frac{\mathbf k\mathbf k^{\mathsf T}}{|\mathbf k|^2}\right)\widehat{\mathbf f}(\mathbf k)}{\eta|\mathbf k|^2+\Gamma}\quad(\mathbf k\ne0)

完整例题

令非对角取向分量沿竖直方向按正弦变化，对角分量为零。应力散度给出沿水平方向、幅度按余弦变化的力。力与竖直波矢正交，压力不会把它抵消。

在一致的无量纲单位中，活性系数取 2，取向幅度取 0.1，黏度、摩擦和波数都取 1，水平速度幅度就是负 0.1。改变活性正负，流向反转；活性为零，流动消失。这个带符号的例子同时检验应力符号、求导和速度幅度。

网格导数只是连续导数的近似，要比较逐步加密的结果。配套基准保存了分辨率 16、32、64 相对连续解的误差。误差随加密下降，检验的是力到速度这一步，无须靠缺陷看起来“走得对”来判断。

Q_{xy}=A\sin(ky),\quad Q_{xx}=0,\qquad u_x=-\frac{\zeta Ak}{\eta k^2+\Gamma}\cos(ky),\quad u_y=0

动态向列场还需要一条演化方程。局部松弛让有序度趋向有限值，弹性抹平太急的空间变化，平流搬运图案，局部旋转带着取向转动，流动对齐还会让细棒偏向伸展方向。取向和流动就这样彼此影响。

浏览器模型按写明的最小松弛、平流、旋转和对齐规律演化两个取向分量，再从同一场的活性应力重新求流动。它是带摩擦的小型周期连续场模型，参数取无量纲教学值。生物组织的定量预测还需要测量对应材料系数。

缺陷轨迹从演化的取向场检测而来。正半整数纹理的不对称允许定向运动；理想负半整数纹理具有三重对称。多缺陷环境里，两者也会受邻居和整体平流影响。要区分自推进与被流场带走，先在受控初态中比较。