算出一条密度波纹会长大还是消失

先写粒子流，再讨论失稳

密度表示单位面积里的粒子数，局部游动速度只随这个密度变化，方向持续时间固定。先看远大于持续长度的尺度：朝向已经来得及松弛，密度图案却还在慢慢变。

活性粒子流有两部分，一部分沿密度梯度向外摊开，另一部分向游得慢的地方积聚。把密度决定的速度代进去，两部分合成一个集体扩散系数。再加上独立的位置布朗扩散，就得到下式。粒子流的单位是每单位线长、每单位时间通过的粒子数。

\begin{aligned}\mathbf J&=-\mathcal D(\rho)\nabla\rho,\\\mathcal D(\rho)&=D_t+\frac{v(\rho)^2\tau}{2}\left[1+\rho\frac{d\ln v}{d\rho}\right].\end{aligned}

粒子数守恒告诉我们，哪里流出得多，密度就下降。在平均密度上叠加一个很小的正弦起伏，只保留一阶变化，集体扩散系数便可以取平均密度处的值。系数为正，波纹被抹平；系数为负，波纹长大。

没有位置布朗扩散时，方括号变负便会失稳。如果普通扩散还在，它会抵消一部分负的活性贡献。这也解释了为什么降低全部游动速度时，拥挤团块可能散开：主动反馈变弱，普通扩散还在。

\delta\rho\propto e^{\sigma t}\cos(kx),\qquad\sigma=-k^2\mathcal D(\rho_0),\qquad D_t=0:\quad\rho_0\frac{d\ln v}{d\rho}\bigg|_{\rho_0}<-1

完整例题

让游动速度随密度指数下降。分母的密度尺度和实际密度单位相同，指数里的量便没有单位。对数斜率直接等于密度除以该尺度，再加负号。没有普通扩散时，平均密度达到该尺度的一点五倍，局域近似预测失稳。

再设此处方括号前的活性扩散率是 0.2，方括号为负 0.5，普通扩散率为 0.03，单位都按选定的长度和时间计算。合起来得到集体扩散率负 0.07。波数为 0.5 的微弱波纹，其增长率便是 0.0175。这是独立的解析例题；使用非局域密度平滑的浏览器模型，需要按自身的速度规律另算。

v(\rho)=v_0e^{-\rho/\rho_*},\quad\mathcal D(\rho_0)=0.03+0.2(1-1.5)=-0.07,\quad\sigma=0.0175

周期盒子只容得下整圈接得上的波长。边长为二十时，最小非零波数约为 0.314。盒子边长加倍，就能容下波数减半的模式。按局域公式，即使扩散率为负，这个长波模式起初也会慢四倍长大。

短波需要考虑之前省略的密度平滑或高阶梯度项，否则公式会错误地预言波数越大、增长越快。比较盒子大小时，还要保存平滑核半径和时间步长，才能分清是尺寸变了，还是模型本身变了。

k_{\min}=\frac{2\pi}{L},\qquad \rho_0=\frac{N}{L^2}

盒子边长加倍，粒子数就增加到四倍。保持局部相互作用长度、时间步长和速度规律不变，用几个独立种子重复，并保存整段时间序列。只保留最后一帧，会丢掉增长过程。

每份记录用相同物理大小的小格统计粒子数，除以格子面积，再比较密度直方图、相关长度和选定傅里叶模式的幅度。报告最大团簇比例前，先写清楚相隔多近才算同一团。看完照片再挑距离阈值，很容易把视觉印象写成统计结论。

连续场条件检验缓慢、微弱起伏的极限，有限粒子记录检验具体的随机粒子模型。尺度分离和数值收敛都看得见，两者的比较才有说服力。