先看一小段轨迹
把水里一粒微尘放大，你会看到它抖来抖去。水分子从四面八方撞它，这种不规则运动叫布朗运动。会自己游的微粒也会抖，但它还多做了一件事：朝身体前方持续用力。可以把它想成一艘方向盘慢慢跑偏的小船。
刚开始，小船几乎直着走。看久一点，轨迹弯了，绕回来了，还可能穿过自己走过的地方。只拍一张照片，很难区分这艘小船和一粒被动微尘；拍一小段视频，区别就出来了：下一步是否还接着上一步的方向？
活性物质里的“活性”，说的是组成单元不断把输入能量变成运动。把一杯水加热，也能让被动微粒散得更快，却不会让每粒微尘都记住一个朝向。研究游动，我们还得把这个朝向记下来。
记忆能换成一段路程
给每个粒子起初的朝向做个记号，过一会儿再看它现在朝哪儿。等到新方向和旧方向大多不再相关，我们就说过了一个持续时间。用自由游动速度乘上这段时间，得到持续长度，也就是一次方向记忆大致能换来的路程。
持续长度若有十个身长，粒子遇到一小群同伴，可能还没怎么转弯就穿过去了。换成很大的一群，它可能还没出来就转了好几次。判断一次拥堵能维持多久，要把粒子的身长和这段持续长度放在一起看。
完整例题
算一算一次游动能走多远
设一个理想平面游动粒子每秒游 2 微米，约 3 秒后忘掉原先的方向。它的持续长度就是 6 微米。只拍十分之一秒，许多轨迹看起来接近直线；连续拍一分钟，每条轨迹都已经拐了很多次。
现在让速度加倍，转弯方式保持原样。每次近乎直行的路程加倍，路程的平方就变成四倍，长时间的活性扩散也会增强四倍。若速度不变，只把记住方向的时间加倍，活性扩散则增强两倍。后面遇到团簇时，我们就用这两个操作来分辨原因。
平均位置没动，粒子也可以越散越开
让许多粒子从同一点出发，起初朝向均匀分布。往左和往右的位移相抵，平均位置可能还在原点，可每个粒子早已游远。要看它们散开多少，应当先把每个粒子离起点的距离平方，再求平均。
自由游动时，自推进对这个平均值的贡献起初随时间平方增长，随后大致随时间直线增长；普通位置扩散另外贡献随时间线性增长的一项。活性部分的前一段保留方向记忆，后一段累积许多朝向不同的游动。等我们加入拥挤、边界和相互作用，轨迹会离开这条参考曲线；先认识自由运动，才知道后来改变了什么。