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Sandbox Physics

M041 · 功与能量

功—能图像工作台

画出沿轨道的力，跟随穿过转向的分段解析运动，再用采集力积分对照独立能量账本。

交互模型功—能图像工作台
轨迹时窗就绪\text{就绪}
选中时间就绪\text{就绪}
选中位置就绪\text{就绪}
带符号速度就绪\text{就绪}
纵向净力就绪\text{就绪}
从初态起算净功就绪\text{就绪}
动能就绪\text{就绪}
势能；轨道原点为零就绪\text{就绪}
最大能量账本残差就绪\text{就绪}
已到达转向数就绪\text{就绪}
可用轨迹时长就绪\text{就绪}
采集力测点数就绪\text{就绪}
采集力得到的功就绪\text{就绪}
采集功减参考功就绪\text{就绪}

物理教程

功—能图像工作台

背景力曲线同时预测时域轨迹及带符号空间积分。

为什么值得理解画出沿轨道的力，跟随穿过转向的分段解析运动，再用采集力积分对照独立能量账本。

先抓重点

核心问题
带符号的力面积能预测转向吗？
一句话直觉
独立运动与力积分应在数值误差内吻合。

核心数学模型

带符号面积

W0→x=∫x0xF(ξ) dξW_{0\to x}=\int_{x_0}^{x}F(\xi)\,\mathrm d\xi

功随位移及力改变符号；返回不累计绝对面积。

独立时域运动

mx¨=F(x)F(x)=Fi+ai(x−xi)xi=i m\begin{aligned}m\ddot x&=F(x)\\F(x)&=F_i+a_i(x-x_i)\\x_i&=i\,\mathrm m\end{aligned}

各段具有常加速、三角或双曲解，在转向及跨节点时重新起算。

独立账本

K=12mv2U(x)=−∫0xF(ξ) dξΔK−W=0\begin{aligned}K&=\tfrac12m v^2\\U(x)&=-\int_0^x F(\xi)\,\mathrm d\xi\\\Delta K-W&=0\end{aligned}

势能以轨道原点为零；账本将时域解与独立力积分核对。

只有采集力进入估计

W^=∑iFiobs+Fi+1obs2 (xi+1−xi)\widehat W=\sum_i\frac{F_i^{\mathrm{obs}}+F_{i+1}^{\mathrm{obs}}}{2}\,(x_{i+1}-x_i)

估计器对部分区间插值记录力，不接收真实动能。

常见难点

模型与证据

容易误解每个零速点都会停车，平滑数据曲线就是精确结果。

正确理解检查静止处的力与事件历史；稀疏力数据会漏掉折点。

动手实验

  1. 01

    画力曲线

    拖动蓝色力节点，改变初速度及质量。

    应该观察到： 同一带符号力驱动三维小车及做功积分。
  2. 02

    寻找真实转向

    对比简谐转向、势垒与返回及初始反向运动。

    应该观察到： 速度在非零回复力下过零，返回时做功回退。
  3. 03

    区分静止与渐近接近

    对比平衡及渐近接近。

    应该观察到： 零速且零力为平衡；临界不稳定状态逐渐接近而不跨越。
  4. 04

    测量面积

    先以包含力折点的扫描采集，再稀疏扫描并加噪声。

    应该观察到： 数据估计不能恢复未采到的力细节。