M041 · 功与能量

功—能图像工作台

画出力随位置的变化，曲线下的面积能预测物体怎么运动吗？ 能，但还得看速度归零那一点受不受力。曲线下带符号的面积就是动能变化，由它能知道每一点的速率，也能找出速率在哪里归零。那里受力不为零，物体就折返；力也恰好为零，物体可能一点点逼近那里，永远到不了。

画出沿轨道的力，跟着分段精确求出的运动穿过每次转向。再对采集到的力积分，和另外算出的能量变化对照。

轨迹时窗 $\text{就绪}$

选中时间 $\text{就绪}$

选中位置 $\text{就绪}$

带符号速度 $\text{就绪}$

纵向净力 $\text{就绪}$

从初态起算净功 $\text{就绪}$

动能变化 $0\,\mathrm{J}$

动能 $\text{就绪}$

势能；轨道原点为零 $\text{就绪}$

最大动能定理残差 $\text{就绪}$

已到达转向数 $\text{就绪}$

可用轨迹时长 $\text{就绪}$

采集力测点数 $\text{就绪}$

采集力得到的功 $\text{就绪}$

采集功减参考功 $\text{就绪}$

画出力，测量它做的功

用带符号面积解释转向

小车质量

m

1.00\,kg

初始位置

x_0

0.50\,m

初始带符号速度

v_0

1.00\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}

观测时窗

T

8.00\,s

0 米处的力

F_{0}

3.00\,N

1 米处的力

F_{1}

3.00\,N

2 米处的力

F_{2}

1.00\,N

3 米处的力

F_{3}

-1.00\,N

4 米处的力

F_{4}

-3.00\,N

5 米处的力

F_{5}

-3.00\,N

6 米处的力

F_{6}

-3.00\,N

回放比例

\tau

0.35\,

力扫描区间数

n_s

24.00\,

力噪声上界

\eta_F

0.00\,N

小车当作质点，放在水平轨道上。七个手柄设定沿轨道方向的全部净力，相邻整米刻度之间按直线插值。重力和支持力在竖直方向抵消，没有阻力，也不会撞墙。力与速度、时间都无关。

随时间的运动由几段解析解拼成：匀加速、简谐或双曲函数。经过节点和掉头都作为事件精确定位。小车在力为零处静止，就一直保持平衡；小车也可能不断逼近不稳定平衡点，却在有限时间内都不掉头。小车离开建模的轨道后，回放结束，保留离开时的速度。

势能等于给定力精确积分的相反数，取轨道原点为零。小车到不了的位置，按能量算出的动能是负的；这个负值不会被用来让小车越过势垒。牛顿运动的结果和单独计算的功积分互相对照，作为检查。

力的采集是对整条轨道做一次空间标定扫描，连小车可能到不了的位置也包括在内。位置是精确的，力带有以牛顿计、有上限且可复现的噪声。估计器只对记录下来的力作分段线性积分，包括不完整的区间；它拿不到力的规律，也拿不到真实能量。

扫描如果漏掉力曲线的折点，即使没有噪声，算出的功也会有偏差。改质量、发射初态或回放会保留力记录；改力或传感器，记录就会清空。小车和支架只是示意，力和速度箭头各用自己的固定比例。按物理时间播放这段有限记录；拖动小车或金色时钟可暂停并回看。

这是理想的教学模型，力的采集是模拟的。转向等事件怎样处理、怎样采样，页面上都写明了。

先抓重点

核心问题: 带符号的力面积能预测转向吗？
一句话直觉: 随时间求出的运动和对力积分得到的功分开计算，两者应在数值误差内一致。

核心数学模型

功是力曲线下的带符号面积

W_{0\to x}=\int_{x_0}^{x}F(\xi)\,\mathrm d\xi

位移或力反向，功就变号。往回走时面积要减掉，不是把绝对面积越加越多。

随时间求解运动

\begin{aligned}m\ddot x&=F(x)\\F(x)&=F_i+a_i(x-x_i)\\x_i&=i\,\mathrm m\end{aligned}

每一段的解是常加速、三角函数或双曲函数形式；每次转向或跨过节点时重新起算。

单独的能量检验

\begin{aligned}K&=\tfrac12m v^2\\U(x)&=-\int_0^x F(\xi)\,\mathrm d\xi\\\Delta K-W&=0\end{aligned}

势能以轨道原点为零。这里用另外算出的力积分，检验随时间求出的解。

只用采集到的力估计功

\widehat W=\sum_i\frac{F_i^{\mathrm{obs}}+F_{i+1}^{\mathrm{obs}}}{2}\,(x_{i+1}-x_i)

遇到不完整的区间，估计器对测得的力插值；它从不读取真实动能。

常见难点

速度为零不一定停下

容易误解速度为零的地方都会停下，数据连成的平滑曲线就是精确结果。

正确理解看看静止处的力和事件历史。力的数据太稀疏，会漏掉力曲线的折点。

动手实验

01
画力曲线
拖动蓝色力节点，改变初速度和质量。
你会看到： 同一条带符号的力，既推动三维小车，也决定做功积分。
02
找真正的转向
对比简谐转向、势垒与返回、初始反向运动三个预设。
你会看到： 回复力不为零时，速度穿过零；往回走时，功又一点点退回去。
03
区分静止和渐近接近
对比平衡和渐近接近两个预设。
你会看到： 速度和力同时为零，才是平衡。小车慢慢逼近临界的不稳定状态，却始终越不过去。
04
测量面积
先用包含力折点的扫描采集，再改成稀疏扫描，并加上噪声。
你会看到： 没有采到的力细节，估计结果补不回来。

核心数学模型

功是力曲线下的带符号面积

随时间求解运动

单独的能量检验

只用采集到的力估计功

常见难点

速度为零不一定停下

动手实验

画力曲线

找真正的转向

区分静止和渐近接近

测量面积