空间机构 · 不均匀传动

万向节

万向节两轴有夹角时，输出轴为什么每圈快慢两次？ 因为中间十字轴的两根销始终互相垂直，两只叉架却在错开一个夹角的平面里转，输入转过相等的角度，输出转过的角度并不相等。输出转速每半圈起伏一次；夹角为30度时，在输入转速的0.87到1.15倍之间变化。两根轴仍然同时转完一整圈。

两根相交的轴由一个金色十字轴连起来，十字的两臂互相垂直。增大夹角，对比输入和输出的相位标记，测一测一整圈里输出转速怎样忽快忽慢。

输出转角 $0$

输出与输入转速比 $0$

输出相位差 $0$

输出角加速度 $0$

所需输入力矩 $0$

载荷有符号功率 $0$

十字轴正交残差 $0$

准静态功率残差 $0$

转动与比较

观察两轴之间发生了什么。

输入相位

\theta

40.00\,{}^\circ

指定输入转速

\omega

60.00\,{}^\circ/\mathrm s

两轴夹角

\beta

35.00\,{}^\circ

有符号输出外力矩

\tau_o

-1.00\,\mathrm{N\,m}

蓝色是输入，珊瑚色是输出，金色是连接件。世界坐标轴分别指向右、上和你。输入轴指向右，正转方向按右手定则。要调相位，可以拖动端面图里的金色标记，也可以用键盘操作相位滑块。

输出轴在水平轴和竖直轴构成的平面里向上倾斜。两只叉架各绕自己的轴转，十字轴的两根轴始终垂直。端面图里，每个相位标记都画在各自轴的法平面上，并没有投影到同一个平面。

单个万向节一旦弯折，就不再等速传动。输入转一圈，输出也转一圈，但途中会快慢交替两次。两轴摆成一条直线，起伏就消失了。图中的相位关系取决于互相垂直的耳轴，以及零相位的取法。

输入转速是给定的。模型刚性、无质量、无摩擦，所需输入力矩和输出端的恒定外力矩平衡，外力矩可正可负。这个力矩由虚功率算出，不能用来选电机。外载荷可以输入功率，也可以吸收功率；滑动副不损耗能量。

播放让输入转一圈后停下，重播会重置相位。长度用米，滑块角度用度。CSV 含七百二十一个运动学采样，每半度一个，角度用弧度，速率用国际单位。零件厚度、轴承和支撑都是示意，不求解碰撞、受力、疲劳或磨损。

单个刚性 Hooke–Cardan 万向节，两轴理想相交，输入转速给定。运动按精确运动学计算；载荷经无质量零件传递，每一瞬间都按静力平衡处理。不考虑惯性、摩擦、轴承力和柔性，也不评估干涉。

先抓重点

核心问题: 万向节弯折后，输出转速为什么每圈快慢两次？
一句话直觉: 十字轴两臂始终垂直，把两只叉架的方向绑在一起；输入转过相等的角度，输出转过的角度却不相等。

核心数学模型

正交十字轴约束

\tan\phi=\cos\beta\tan\theta,\qquad\phi=\operatorname{unwrap}\!\left[\operatorname{atan2}(\cos\beta\sin\theta,\cos\theta)\right]

只用正切关系分不清输出在哪个象限；用双参数反正切并把角度展开，才能连续跟踪完整的一圈。

瞬时转速比

R=\frac{\dot\phi}{\omega}=\frac{\cos\beta}{1-\sin^2\beta\sin^2\theta},\quad R_{\min}=\cos\beta,\quad R_{\max}=\frac1{\cos\beta}

最慢点和最快点相隔四分之一输入圈，整个起伏每半圈重复一次。

输出角加速度

\ddot\phi=\omega^2\frac{\cos\beta\sin^2\beta\sin2\theta}{(1-\sin^2\beta\sin^2\theta)^2}

输入匀速转动，输出仍可能有角加速度。

无质量零件的功率平衡

\tau_{\rm in}=-\tau_o\frac{\mathrm d\phi}{\mathrm d\theta},\qquad\tau_{\rm in}\omega+\tau_o\dot\phi=0

这里不计摩擦损失，也不计惯性功率。

常见难点

圈数相同，不等于转速相同

容易误解输入转一圈、输出也转一圈，输出就一定匀速。

正确理解万向节的瞬时传动比时刻在变；平行轴之间的理想十字滑块联轴器，传动比保持不变。

运动学与动力学

容易误解动画转得顺，轴承载荷和磨损就没问题。

正确理解这里输入运动是给定的，连接件没有质量、没有摩擦。惯性、真实间隙和接触力要用别的模型来算。

动手实验

01
先从两轴对中开始
选择两轴对中，播放一圈。
你会看到： 两轴的相位标记始终重合，转速比保持为一。
02
增大夹角
比较输出最慢与最快预设，再从不同视角检查十字轴。
你会看到： 输出转速每圈起伏两次，十字轴两臂的垂直误差始终在数值精度附近。
03
看功率怎样传递
把输出外力矩反号，导出一个周期。
你会看到： 力矩和功率变号，运动却不变，因为它是给定的。

理论与装置：Carnegie Mellon · Universal Joint · Ruland · Oldham Coupling