M100 · 流体力学

浅水波与溃坝

溃坝洪水的前锋，也按小水波的速度往前跑吗？ 不是。小波的速度由当地水深决定，水越深波越快。溃坝前锋是大幅度的非线性波，速度要从完整的解里求。如果下游是干地，前锋跑得比原水库里的小波快一倍。

打开闸门、发射波包、让静湖停在隆起上，或者观察水跃。拖动时间查看有限体积解，和溃坝解析参考对照，再加密网格。槽内水量加上从两端流出的水量，应当保持不变。

解的时间 $\text{就绪}$

测点水深 $\text{就绪}$

深度平均速度 $\text{就绪}$

单位宽度流量 $\text{就绪}$

局部长波速 $\text{就绪}$

测点 Froude 数 $\text{就绪}$

槽内水体积 $\text{就绪}$

净流出体积 $\text{就绪}$

最大 Courant 数 $\text{就绪}$

单元宽度 $\text{就绪}$

求解步数 $\text{就绪}$

相对解析解的平均水深误差 $\text{就绪}$

原始扫描积分体积 $\text{就绪}$

记录测点数 $\text{就绪}$

力或体积平衡残差 $\text{就绪}$

模型状态 $\text{就绪}$

浮体稳定与浅水流动

数值洪水可靠吗？

初始左侧水面高度

H_L

2.00\,m

初始右侧水面高度

H_R

0.50\,m

横跨槽宽的底床隆起高度

b_0

0.00\,m

重力加速度

g

9.81\,m/s^2

有限体积单元数

N

160.00\,

解的时间

t

2.00\,s

测点位置比例

\xi_p

0.60\,

场景：溃坝、静湖、波包、水跃

s

0.00\,

两端：透射或反射

b

0.00\,

传感器扰动倍率

\epsilon

0.00\,

水槽长八十米、宽六米，场景里所有长度都按同一比例画。隆起横跨整个槽宽，代表一维的底床起伏。每根水柱是一个有限体积单元里的平均值，所有速度箭头用同一个显示比例。释放时闸门瞬间消失。

求解器用一阶局部 Lax–Friedrichs 通量和静水重构推进水深与流量，自适应 Courant 数不超过 0.4。水深低于一个极小的数值阈值就算干单元；明显的负水深会作为异常报告出来。两端边界要么反射，要么复制相邻单元让水流出；后一种并非完全不反射。模型不解析摩擦、横向流动和色散，也不解析水跃表面的滚流。

溃坝预设从静止开始。平底情形的精确解只在波到达槽端之前显示，作为参考。静湖和波包情形用左侧的水面高度。水跃的水深必须向右增大，两侧共轭水深确定一个恒定流量。底床隆起会改变这些初始状态。采集读取所有单元，把原始水深积分成体积估计。选择测点会保留记录；改配置或时间会清空记录。传感器扰动有上限且可复现，不给统计置信度。

水流按一维、深度平均、无黏处理。数值格式用静水重构，配合带数值扩散的一阶通量。三维水槽显示的是单元平均值，不解析竖向湍流，也不解析破碎波的滚流。

先抓重点

核心问题: 屏幕上的洪水，也遵守守恒律吗？
一句话直觉: 把完整物理模型、它的近似和单独采集的记录放在一起比较。

核心数学模型

水深与动量守恒

\begin{aligned}h_t+(hu)_x&=0\\(hu)_t+\left(hu^2+\frac{gh^2}{2}\right)_x&=-ghb_x\end{aligned}

恒宽水槽里的流动按静水压力、深度平均处理；底床作为源项进入动量方程。

小扰动的局部传播速度

\lambda_\pm=u\pm\sqrt{gh}

洪水激波一般不按小振幅长波的速度走；干床上的前锋速度又不一样。

Froude 数

\mathrm{Fr}=\frac{|u|}{\sqrt{gh}}

亚临界流里，信号可以往上下游两个方向传；超临界流把两族信号都带往下游。干单元没有 Froude 数。

考虑端部流量的体积守恒

\begin{aligned}V&=W\sum_i h_i\Delta x\\V(t)+\int_0^t W(q_R-q_L)\,ds&=V(0)\end{aligned}

水从槽端流出，槽内体积会变，但并不违反守恒。扫描原始单元水深，可以另外积分出一个体积。

自适应步长与网格误差

\begin{aligned}\mathrm{CFL}&=\frac{\Delta t}{\Delta x}\max_i\left(|u_i|+\sqrt{gh_i}\right)\leq0.4\\E_h&=\frac1N\sum_i|h_i-h_{\mathrm{exact}}(x_i,t)|\end{aligned}

一阶格式会把激波抹宽。平均水深误差只在平底溃坝、波还没到达槽端之前提供。

静止水跃

\begin{aligned}q_L&=q_R=q\\\frac{q^2}{h_L}+\frac{gh_L^2}{2}&=\frac{q^2}{h_R}+\frac{gh_R^2}{2}\end{aligned}

预设让质量通量和动量通量在一次满足熵条件的水深跃升两侧保持平衡；数值解会把跃面展宽。

常见难点

参考曲线不是测量

容易误解屏幕上显示的参考曲线就是实测数据。

正确理解只有你记录下来的传感器读数才算观测，改动配置会清空它们。扰动是确定性的，不能拿来做统计认证。

动手实验

01
释放闸门
比较湿床溃坝和干床溃坝预设，移动时间滑块。
你会看到： 稀疏波、激波和干床前锋，都来自同一组守恒律。
02
加密网格再对照
保持相同初态和时间，把单元数加倍。
你会看到： 参考曲线不变，数值扩散变小。
03
检验静湖
选择隆起上的静湖，再调整隆起高度。
你会看到： 静水平衡重构让这片湖保持静止，不会冒出虚假的水流。
04
检查水量平衡
比较反射槽端和透射槽端，并采集每个单元。
你会看到： 槽内体积加上净流出量保持不变；原始水深积分出另一个体积估计，其中带有传感器扰动。