物质波 / 边界设计

量子台球

把量子波包送进球场。改变边界，放入障碍，看反射如何刻出新的干涉地形；再从同一个波函数中采集一次次位置读出。

相干波场

波包铺开的有效站点数

0

模型 · 空间展开

高度为站点概率的平方根，增益固定。金圈为初始区域。曲面是波函数诊断图，不是运动的物质薄膜。

\tau=32

01 / 完整过程

波，到底铺开多大范围？

纵轴为有效占据站点数。青线为当前球场；珊瑚虚线为空矩形，发射设置相同。拖动查看。

$\tau=Jt/\hbar$

02 / 相位

同样的亮度，可以藏着不同的态。

色相为复相位，亮度为振幅，色标固定。色相原点任意，相对相位才有物理意义。图上方为纵坐标正向。

2\pi

03 / 空间与时间

把每次反射留在图上。

横向为从左到右的晶格列；纵向为时间，顶端 0、底端 64。颜色为模型位置边缘概率，使用固定平方根色标。

04 / 位置读出

一次制备，一个落点。

仅使用记录位置计数，除以总试次；采集前为空。金色区域固定，仅凭位置不能测得量子态重叠。

从波函数中抽样

把一个个落点，累积成图案。

0 / 8000

每次读出都来自演化到选定时刻的独立新制备。理想晶格位置测量，保留全部试次。模拟种子固定，重置可复现。

金圈内记录比例

\text{—}

95% Wilson 区间

\text{—}

金圈内模型概率

\text{—}

有效占据站点数

\text{—}

计数，是否跟上了波形？

金柱为横向位置记录频率，青线为模型边缘概率。纵轴为线性概率；晶格列编号从 0 到 63。

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试次	$x/a$	$y/a$	金圈内

模型、单位、数值诊断与来源

H_0/J=4I-\sum_{\langle i,j\rangle}(|i\rangle\langle j|+|j\rangle\langle i|),\qquad\tau=Jt/\hbar

有限正方晶格，间距 a、均匀跃迁 J、无相互作用。移除外部和障碍站点，边界处对角元仍为四，对应离散 Dirichlet 硬壁。定量结论限于此有限晶格；连续系统解释还需要独立的网格收敛检验。

\psi_j(0)=C\exp\!\left[-\frac{(x_j/a+10)^2+(y_j/a+4)^2}{25}\right]e^{0.9i[(x_j/a+10)\cos\theta+(y_j/a+4)\sin\theta]}

截断高斯波包仅在制备时归一化一次。横坐标向右、纵坐标向上；角度从横轴正向逆时针计。圆半径为 18；体育场两半圆中心横坐标为负 9 和正 9；矩形半宽 27、半高 18。障碍中心在 (4, 0)，长度均以晶格间距计。

F(t)=|\langle\psi(0)|\psi(t)\rangle|^2,\qquad N_{\mathrm{eff}}=\frac{(\sum_jp_j)^2}{\sum_jp_j^2}

金圈是以初始中心为圆心、半径四的区域。圈内位置计数与依赖相位的态保真度不同。颜色在站点概率 0.025 时饱和；场景高度为概率平方根的 24 倍。时空图在横向边缘概率 0.2 时色彩饱和。显示增益不改变演化或计数。

指数作用使用范数限制的子步，不重新归一化。不含环境、损耗、连续极限外推、混沌指数或热力学结论。抽样使用固定伪随机种子；区间仅反映试次不确定性。

0

Doncheski et al. (2003) · Wave packets in two-dimensional quantum billiards

Wisniacki et al. (2001) · Sensitivity to perturbations in a quantum chaotic billiard

先抓重点

核心问题: 球会反弹，波会干涉。
一句话直觉: 硬边界改变振幅的传播方向；相位决定反射后的干涉。

核心数学模型

演化同一个态

|\psi(t)\rangle=e^{-iHt/\hbar}|\psi(0)\rangle

所有曲面、诊断和抽样位置都来自此态。

比较完整量子态

F(t)=|\langle\psi(0)|\psi(t)\rangle|^2

模型保真度包含相位；它不是起点附近的位置计数比例。

常见难点

立体波形是诊断图

容易误解粒子沿着一张物质曲面运动。

正确理解粒子限于二维晶格；高度使用固定显示增益编码概率平方根。

有限模型

容易误解这些图像证明量子混沌或时间箭头。

正确理解有限正方晶格上的孤立单粒子，硬壁边界。曲面显示概率振幅，不是液体或粒子轨迹。曲线边界呈阶梯状；不宣称连续极限下的量子混沌结论，也不模拟 STM。

动手实验

01
先看原因
依次选择三个预设，再拖动完整时间轴。
应该观察到： 边界形状和障碍改变反射后的干涉图案。
02
看相位
切换相位着色，并检查球场下方的相位图。
应该观察到： 色相依赖相位约定；空间相位差有意义，整体色相没有。
03
采集证据
采集位置、定格实验并导出全部试次。
应该观察到： 记录频率趋近模型密度，却不能揭示全部相位。