物质波 / 边界设计

量子台球

量子台球的边界形状，怎样改变波反射后的图案？ 边界决定哪些反射回来的波会叠在一起，相位决定它们是加强还是抵消。同样方式发射的波包，在圆形、体育场形或带障碍的体育场形边界里，同一时刻会散成不同的明暗图案。台球只沿一条路线反弹，波却同时从整圈墙上反射回来。

把量子波包送进一块球场。改变边界形状，或在场中放一个障碍，看反射怎样形成新的干涉图样。再一次次测量粒子位置，每次读数都从这同一个波函数中抽样。

相干波场

波包铺开的有效站点数

0

模型 · 空间展开

高度为站点概率的平方根，增益固定。金圈为初始区域。曲面是波函数诊断图，不是运动的物质薄膜。

\tau=32

01 / 完整过程

波铺开有多大范围？

纵轴为有效占据站点数。青线为当前球场；珊瑚虚线为空矩形，发射设置相同。拖动查看。

$\tau=Jt/\hbar$

02 / 相位

亮度相同，态却可能不同。

色相为复相位，亮度为振幅，色标固定。色相原点任意，相对相位才有物理意义。图上方为纵坐标正向。

2\pi

03 / 空间与时间

把每次反射留在图上。

横向为从左到右的晶格列；纵向为时间，顶端 0、底端 64。颜色为模型位置边缘概率，使用固定平方根色标。

04 / 位置读出

一次制备，一个落点。

只用记录到的位置计数，再除以总试次；测量之前图是空的。金色区域固定不变；单凭位置测不出量子态的重叠。

从波函数中抽样

让一个个落点累积成图案。

0 / 8000

每次探测都来自一次独立的新制备，演化到选定时刻后测量。位置测量是理想的晶格格点测量，所有试次都保留。模拟种子固定，重置后结果可以复现。

金圈内的测量比例

\text{—}

95% Wilson 区间

\text{—}

金圈内模型概率

\text{—}

有效占据站点数

\text{—}

计数跟得上波形吗？

金柱为横向位置记录频率，青线为模型边缘概率。纵轴为线性概率；晶格列编号从 0 到 63。

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试次	$x/a$	$y/a$	金圈内

模型、单位、数值诊断与来源

H_0/J=4I-\sum_{\langle i,j\rangle}(|i\rangle\langle j|+|j\rangle\langle i|),\qquad\tau=Jt/\hbar

模型是有限的正方晶格，间距为 a，跃迁强度 J 处处相同，没有相互作用。边界外和障碍物处的站点都被移除；边界上对角元仍取四，相当于离散的 Dirichlet 硬壁。定量结论只针对这个有限晶格；要按连续系统来理解，还需要另做网格收敛检验。

\psi_j(0)=C\exp\!\left[-\frac{(x_j/a+10)^2+(y_j/a+4)^2}{25}\right]e^{0.9i[(x_j/a+10)\cos\theta+(y_j/a+4)\sin\theta]}

截断高斯波包仅在制备时归一化一次。横坐标向右、纵坐标向上；角度从横轴正向逆时针计。圆半径为 18；体育场两半圆中心横坐标为负 9 和正 9；矩形半宽 27、半高 18。障碍中心在 (4, 0)，长度均以晶格间距计。

F(t)=|\langle\psi(0)|\psi(t)\rangle|^2,\qquad N_{\mathrm{eff}}=\frac{(\sum_jp_j)^2}{\sum_jp_j^2}

金圈以初始中心为圆心，半径为四。圈内的位置计数和对相位敏感的态保真度是两回事。站点概率达到 0.025 时颜色饱和；场景中的高度是概率平方根的 24 倍。时空图在横向边缘概率达到 0.2 时饱和。这些显示增益不影响演化和计数。

时间演化分成受范数限制的子步来算，不做重新归一化。模型不含环境和损耗，不外推到连续极限，也不给出混沌指数或热力学结论。抽样用固定的伪随机种子；区间只反映试次带来的不确定性。

0

Doncheski et al. (2003) · Wave packets in two-dimensional quantum billiards

Wisniacki et al. (2001) · Sensitivity to perturbations in a quantum chaotic billiard

先抓重点

核心问题: 量子台球的边界形状，怎样改变波反射后的图案？
一句话直觉: 硬壁让振幅换个方向传播；反射之后怎样干涉，由相位决定。

核心数学模型

演化同一个态

|\psi(t)\rangle=e^{-iHt/\hbar}|\psi(0)\rangle

所有曲面、诊断图和抽样位置都来自这一个态。

比较完整量子态

F(t)=|\langle\psi(0)|\psi(t)\rangle|^2

这个保真度由模型算出，包含相位信息；它不是起点附近探测到的比例。

常见难点

立起来的波形只是一种显示

容易误解粒子沿着一张实物曲面运动。

正确理解粒子只在二维晶格上运动。高度表示概率的平方根，显示增益固定不变。

有限模型

容易误解这些图像证明量子混沌或时间箭头。

正确理解模型是有限正方晶格上的一个孤立粒子，四周是硬壁。立起来的曲面表示概率振幅，不是液面，也不是粒子轨迹。曲线边界用台阶近似，这不是收敛到连续极限的量子混沌计算，也不模拟 STM。

动手实验

01
比较预设
依次选择三个预设，再拖动完整时间轴。
你会看到： 边界形状和障碍改变反射后的干涉图案。
02
看相位
切换相位着色，并检查球场下方的相位图。
你会看到： 颜色取决于相位约定。空间上的相位差有物理意义，整体色调没有。
03
采集位置读数
采集位置、定格实验并导出全部试次。
你会看到： 读数越多，各处出现的频率越接近模型密度，但相位信息没法全部看出来。