绘图机构 · 几何反演

Peaucellier 直线机构

铰接杆件如何在没有导轨时画直线？ 靠几何反演。菱形和两根长杆让画笔与输入点始终在过固定铰点的同一条直线上，两者到这个铰点的距离乘积保持不变。反演会把经过铰点的圆变成直线：曲柄画的圆正好经过这个铰点时，画笔走出精确的直线；曲柄长度一变，画笔就改走圆弧。

让曲柄沿圆周摆动，看铰接的菱形怎样带着画笔走直线。改一改输入圆，轨迹就会弯；还可以近看层层叠起的铰链，验证笔迹背后的几何不变量。

笔尖水平位置 $0$

笔尖竖直位置 $0$

笔尖速率 $0$

笔尖加速度大小 $0$

反演距离乘积 $0$

直线参考偏差 $0$

局部轨迹曲率 $0$

最大约束残差 $0$

移动与描线

让连杆自己画出曲线

曲柄转角

\theta

35.00\,{}^\circ

指定角速率

\omega

40.00\,{}^\circ/\mathrm s

菱形边长

r

1.25\,\mathrm m

固定铰点间距

D

1.00\,\mathrm m

曲柄半径与铰距之比

R/D

1.00\,

绘图平面由水平和竖直方向构成，向右、向上为正，纵深方向朝向你。控制面板里的角度用度，内部计算和 CSV 用弧度、米和秒。

两根蓝色长杆固定为一点六米，四根金色杆的长度都等于所选的菱形边长。珊瑚色曲柄绕另一个固定铰点摆动，画笔没有任何导轨。杆件分层叠放，由同轴的铰销连在一起。

半径比为一时，输入圆经过固定的反演铰点，输出就是精确的直线；其他比例画出的是圆弧。偏差图总是和同一条直线参考比较，不是和拟合出来的直线比。虚线输入圆是完整的几何作图，不表示机构能转完整一圈。

播放把显示的相位区间描一遍就停。浅色路径是完整的几何参考，珊瑚色墨迹画到当前游标为止。往回拖只是回看这段相位，并不会擦掉真实的记录。CSV 含七百二十一个运动学采样，不是测量数据。

输入运动是给定的。模型只求几何关系和导数，不求接触力，也不模拟电机驱动。零件、笔架和间隙都是示意；材料穿透、惯性、摩擦、反向间隙、公差和结构安全都不在模型范围内。

连杆是理想的平面刚体，曲柄转角直接给定。只显示避开奇异位置的工作区段。杆的厚度和铰链的叠放只是示意；不考虑摩擦、惯性、碰撞、接触载荷和公差。

先抓重点

核心问题: 输入圆满足什么条件，输出才是直线？
一句话直觉: 菱形把输入点和画笔始终保持在过固定点的同一条直线上，两者到固定点的距离乘积保持不变。

核心数学模型

几何反演

K=\ell^2-r^2,\quad\mathbf Q=\frac{K\mathbf P}{|\mathbf P|^2}

固定的反演铰点取为原点。两根长杆和菱形的四条等边一起保证了这个关系。

输入圆

\mathbf P=(D+R\cos\theta,R\sin\theta)

圆心在另一个固定铰点上；半径等于两铰点间距时，圆正好经过原点。

轨迹恰为直线的条件

R=D\quad\Longrightarrow\quad Q_x=\frac K{2D},\quad Q_y=\frac K{2D}\tan\frac\theta2

只显示安全的曲柄区间；曲柄一旦转到反演中心，机构就会进入奇异位置。

一般情况下的输出圆

(D^2-R^2)|\mathbf Q|^2-2KDQ_x+K^2=0

二次项系数为零时，同一个方程描述的就是直线。

常见难点

浅色曲线不是测量结果

容易误解浅色曲线是一次独立的实验验证。

正确理解它是理想模型的完整轨迹。约束残差和独立的几何测试用来检查模型是否自洽；这里不采集真实数据。

运动是直接给定的

容易误解轨迹流畅，就说明真实机构能以这个速率安全运转。

正确理解质量、摩擦、接触力、间隙和驱动动力学都要另外分析。三维零件画出厚度，只是为了说明怎样装配。

动手实验

01
描出默认轨迹
选择绘图平面视角，播放或拖动珊瑚色手柄。
你会看到： 每根杆长度不变；画笔没有导轨，却沿着竖直的直线运动。
02
让直线弯起来
保持两个固定铰点不动，改变曲柄半径比。
你会看到： 反演的距离乘积还是不变，画笔却走成了圆弧。
03
区分几何与速率
增大角速率，导出相位扫描。
你会看到： 路径不变，只是走得更快。速度与角速率成正比，加速度与角速率的平方成正比。

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