绘图机构 · 几何反演

Peaucellier 直线机构

摆动圆周曲柄，看铰接菱形如何引导画笔沿直线运动。改变输入圆让轨迹弯曲，近看叠层铰链，检验藏在笔迹背后的几何不变量。

笔尖水平位置 $0$

笔尖竖直位置 $0$

笔尖速率 $0$

笔尖加速度大小 $0$

反演距离乘积 $0$

直线参考偏差 $0$

局部轨迹曲率 $0$

最大连杆闭合误差 $0$

移动与描线

让几何自己画出来。

曲柄转角

\theta

35.00\,{}^\circ

指定角速率

\omega

40.00\,{}^\circ/\mathrm s

菱形边长

r

1.25\,\mathrm m

固定铰点间距

D

1.00\,\mathrm m

曲柄半径与铰距之比

R/D

1.00\,

绘图平面为水平—竖直面，向右、向上为正，景深向观察者为正。控制角度用度，内部计算和 CSV 用弧度、米、秒。

两根蓝色长杆固定为一点六米，四根金色杆共用所选菱形边长。珊瑚色曲柄绕另一固定铰点摆动，画笔处没有导轨。对齐的铰轴连接可见叠层杆件。

半径比为一时，输入圆通过固定反演铰点，输出为精确直线；其他比例产生圆弧。偏差图始终对比同一条直线参考，并非拟合直线。虚线输入圆是完整几何作图，不表示机构可转完整一圈。

播放描出一个显示相位区间后停止。浅色为完整几何参考，珊瑚色为当前游标之前的相位轨迹。向后拖动是回看相位视图，并非擦除真实记录。CSV 含七百二十一个运动学采样，不是测量数据。

输入运动为指定量。模型求几何与导数，不求接触力或电机驱动。零件、笔架与间隙为示意，不求材料穿透、惯性、摩擦、反向间隙、公差或结构安全。

理想平面刚性连杆，曲柄转角为指定量。只显示无奇异工作区间。厚度与铰链叠层为示意，不含摩擦、惯性、碰撞、接触载荷或公差模型。

先抓重点

核心问题: 输入圆满足什么条件，输出才是直线？
一句话直觉: 菱形保持输入点与画笔同处一条径向直线，两者到固定点的距离乘积恒定。

核心数学模型

几何反演

K=\ell^2-r^2,\quad\mathbf Q=\frac{K\mathbf P}{|\mathbf P|^2}

固定反演铰点为原点，两根长杆与菱形四条等边共同约束此关系。

输入圆

\mathbf P=(D+R\cos\theta,R\sin\theta)

圆心位于另一个固定铰点，半径等于铰距时圆通过原点。

精确直线轨迹

R=D\quad\Longrightarrow\quad Q_x=\frac K{2D},\quad Q_y=\frac K{2D}\tan\frac\theta2

只显示限定曲柄区间，将曲柄延伸至反演中心会出现奇异性。

一般输出圆

(D^2-R^2)|\mathbf Q|^2-2KDQ_x+K^2=0

二次项系数消失时，同一约束变成直线。

常见难点

参考轨迹不是测量

容易误解浅色曲线是独立实验验证。

正确理解它是完整理想模型轨迹。闭合残差与独立几何测试用于检查一致性，本实验不采集真实数据。

运动为指定量

容易误解轨迹流畅就证明真实机构能安全地以此速率驱动。

正确理解质量、摩擦、接触力、间隙与驱动动力学需要另行分析。三维零件厚度只用于说明装配。

动手实验

01
描出默认轨迹
选择绘图平面视角，播放或拖动珊瑚色手柄。
应该观察到： 每根杆长保持不变，没有导轨的画笔沿竖直直线运动。
02
让直线弯起来
保持两个固定铰点不动，改变曲柄半径比。
应该观察到： 反演距离乘积仍恒定，画笔轨迹却变成圆弧。
03
区分几何与速率
增大角速率，导出相位扫描。
应该观察到： 同一条路径走得更快，速度按角速率缩放，加速度按其平方缩放。

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