M043 · 功与能量

保守力与路径依赖

编辑共用端点的两条路径，分离势能功、旋转环量及滑动损耗；用采集场力测点核对几何闭合。

解析场分类 $\text{就绪}$

第一条场力功 $\text{就绪}$

第二条场力功 $\text{就绪}$

第一条含阻力功 $\text{就绪}$

第二条含阻力功 $\text{就绪}$

第一条路径长度 $\text{就绪}$

第二条路径长度 $\text{就绪}$

闭合场力功 $\text{就绪}$

闭合阻力功 $\text{就绪}$

闭合总功 $\text{就绪}$

有向闭合面积 $\text{就绪}$

旋度乘有向面积 $\text{就绪}$

加倍面板长度变化 $\text{就绪}$

选中路径势能部分功 $\text{就绪}$

选中切向 $\text{就绪}$

采集力测点数 $\text{就绪}$

采集闭合场力功 $\text{就绪}$

采集闭合功减参考功 $\text{就绪}$

路径 / 场 / 闭合

保留端点，改变路径

径向弹性系数

k

0.70\,\frac{\mathrm N}{\mathrm m}

均匀向下力

G

1.00\,N

旋转场系数

\gamma

0.00\,\frac{\mathrm N}{\mathrm m}

滑动阻力大小

f

0.00\,N

编辑路径；第一或第二

j

0.00\,

反转两条路径

\sigma

0.00\,

长度求积面板数

n_q

8.00\,

第一条路径控制点 1 水平

P^{()}_{1,x}

-2.00\,m

第一条路径控制点 2 水平

P^{()}_{2,x}

2.00\,m

第一条路径控制点 1 高度

P^{()}_{1,y}

3.00\,m

第一条路径控制点 2 高度

P^{()}_{2,y}

3.00\,m

第二条路径控制点 1 水平

P^{()}_{1,x}

-2.00\,m

第二条路径控制点 2 水平

P^{()}_{2,x}

2.00\,m

第二条路径控制点 1 高度

P^{()}_{1,y}

-3.00\,m

第二条路径控制点 2 高度

P^{()}_{2,y}

-3.00\,m

回放比例

\tau

0.45\,

力扫描区间数

n_s

24.00\,

力噪声上界

\eta_F

0.00\,N

两条平面三次 Bézier 路径共用固定端点，坐标为负二、负一及二、一米；各有两个自由内部点。右手坐标中水平向右、竖直向上、深度朝路径平面外。三维路径及全部积分使用同一物理坐标。

弹性及均匀向下部分具有已知势能。旋转部分在系数非零时具有恒定非零旋度。某个闭合功为零或两条路径等功，不能证明全局势能；分类依据给定解析场。

路径由外部驱动给定，不是由所画力求解的轨迹；不从路径参数推算动能。滑动阻力大小恒定，反向于局部遍历方向；省略静摩擦、接触法向载荷及驱动动力学。静止切向处阻力方向未定义，省略该箭头。

有向闭合先沿第一条正行，再沿第二条倒行。位置相关场在倒行时功反号，阻力仍做负功。旋度乘有向面积仅适用于场力部分；自交曲线采用带符号绕行面积。

复合八点 Gauss 求积计算平滑场力功及路径长度。场力功被积函数为多项式；长度是数值结果，静止切向附近尤其需要检查。加倍面板变化是诊断，不是误差上界；前缀图使用单独密集分区。

原始采集记录两条路径的精确位置及带噪场力分量；梯形力—位移积分只使用这些记录。阻力功另由模型计算，不声称已测得。回放、路径选择、阻力及求积调整保留场力记录；几何、方向、场或传感器更改会清空。

给定路径；分开核算场力功与滑动耗散，不求解驱动或接触动力学。

先抓重点

核心问题: 到达相同终点，做功就相同吗？
一句话直觉: 一个闭合功为零不能确立全局势能。

核心数学模型

已知保守及旋转部分

\begin{aligned}\mathbf F&=(-kx-\gamma y,\,-G-ky+\gamma x)\\U_c&=\tfrac12k(x^2+y^2)+Gy\end{aligned}

只有弹性及均匀向下部分由这个势能产生。

路径积分投影到切向

W_C=\int_0^1\mathbf F(\mathbf c(q))\cdot\mathbf c^{\prime}(q)\,\mathrm dq

路径参数不是时间；装置由驱动沿选中路径遍历。

有向闭合与旋度

\begin{aligned}A_{\mathrm{or}}&=\tfrac12\oint(x\,\mathrm dy-y\,\mathrm dx)\\\oint\mathbf F\cdot\mathrm d\mathbf r&=2\gamma A_{\mathrm{or}}\end{aligned}

第一条正行、第二条倒行定义方向；自交按绕行符号贡献。

耗散不反号

\begin{aligned}W_f&=-fL\\W_{f,\mathrm{loop}}&=-f(L_A+L_B)\end{aligned}

阻力依赖遍历方向，因此闭合功不是单一位置场的旋度积分。

原始力—位移估计

\widehat W_C=\sum_i\frac{\mathbf F_i^{\mathrm{obs}}+\mathbf F_{i+1}^{\mathrm{obs}}}{2}\cdot(\mathbf r_{i+1}-\mathbf r_i)

该模拟采集中位置精确，场力分量含确定性有界噪声。

常见难点

模型与证据

容易误解反转闭合会使所有功都反号。

正确理解纯位置场功反号，滑动阻力跟随新切向，仍然耗散。

动手实验

01
固定端点
编辑两条路径各自的内部点。
应该观察到： 即使路径长度变化，势能部分功仍保持。
02
赋予场环量
选择旋转场并改变符号。
应该观察到： 闭合场力功随有向面积变化，反转闭合时反号。
03
加入阻力
设定滑动阻力，再反转两条路径。
应该观察到： 场力项反号，阻力项仍为负。
04
采集几何积分
采集场力，增加扫描区间并与模型比较。
应该观察到： 采集闭合功来自力—位移求和；阻力仍为独立计算。