M043 · 功与能量

保守力与路径依赖

在同样两点之间换条路走，力做的功一样吗？ 只有保守力才一样。在绕着圈转的力场里，功随路径而变，环路倒着走，功就变号。摩擦损耗从不变号，怎么走都在消耗能量。某一个环路的功碰巧为零，证明不了存在势能；要每个环路的功都为零才行。

编辑两条端点相同的路径，把势能部分做的功、旋转部分的环量和滑动损耗分开。再沿闭合路径测几个点的场力，和由几何算出的回路功比一比。

解析场分类 $\text{就绪}$

第一条场力功 $\text{就绪}$

第二条场力功 $\text{就绪}$

第一条含阻力功 $\text{就绪}$

第二条含阻力功 $\text{就绪}$

第一条路径长度 $\text{就绪}$

第二条路径长度 $\text{就绪}$

闭合回路场力功 $\text{就绪}$

闭合回路阻力功 $\text{就绪}$

闭合回路总功 $\text{就绪}$

回路有向面积 $\text{就绪}$

旋度乘有向面积 $\text{就绪}$

加倍面板长度变化 $\text{就绪}$

选中路径势能部分功 $\text{就绪}$

选中切向 $\text{就绪}$

采集力测点数 $\text{就绪}$

采集的闭合回路场力功 $\text{就绪}$

采集回路功减参考回路功 $\text{就绪}$

沿路径和绕回路做的功

保留端点，改变路径

径向弹性系数

k

0.70\,\frac{\mathrm N}{\mathrm m}

均匀向下力

G

1.00\,N

旋转场系数

\gamma

1.00\,\frac{\mathrm N}{\mathrm m}

滑动阻力大小

f

0.00\,N

编辑路径；第一或第二

j

0.00\,

反转两条路径

\sigma

0.00\,

长度求积面板数

n_q

8.00\,

第一条路径控制点 1 水平

P^{()}_{1,x}

-2.00\,m

第一条路径控制点 2 水平

P^{()}_{2,x}

2.00\,m

第一条路径控制点 1 高度

P^{()}_{1,y}

3.00\,m

第一条路径控制点 2 高度

P^{()}_{2,y}

3.00\,m

第二条路径控制点 1 水平

P^{()}_{1,x}

-2.00\,m

第二条路径控制点 2 水平

P^{()}_{2,x}

2.00\,m

第二条路径控制点 1 高度

P^{()}_{1,y}

-3.00\,m

第二条路径控制点 2 高度

P^{()}_{2,y}

-3.00\,m

回放比例

\tau

0.45\,

力扫描区间数

n_s

24.00\,

力噪声上界

\eta_F

0.00\,N

两条平面三次 Bézier 路径共用固定的端点，坐标分别是负二、负一和二、一，单位米。每条路径有两个可以自由拖动的内部点。坐标系是右手系：水平向右，竖直向上，深度方向指出路径平面。三维路径和所有积分都用同一套物理坐标。

弹簧部分和均匀向下的部分都有已知的势能。旋转部分的系数不为零时，它的旋度是一个不为零的常数。绕某一个回路一圈做功为零，或者两条路径做功相等，都不能证明存在全局势能。场属于哪一类，要看给定的解析式。

物体由外部驱动沿路径移动，路径不是在所画的力作用下求出的轨迹。程序不根据路径参数推算动能。滑动阻力大小恒定，方向与当地的行进方向相反；静摩擦、接触面法向载荷和驱动的动力学都不考虑。切向量为零的地方阻力没有方向，那里不画阻力箭头。

有向回路先沿第一条路径正着走，再沿第二条倒着走。倒着走时，只与位置有关的场做的功变号，阻力却仍做负功。旋度乘有向面积只适用于场力的那部分功。回路自相交时，面积按带符号的绕行面积计算。

场力功和路径长度都用复合八点 Gauss 求积计算。场力功的被积函数是多项式；长度却只是数值结果，在切向量接近零的地方尤其要留意。面板加倍后的变化只是粗略检查，不是误差上界。累积曲线另用一套更密的分段。

原始采集记录两条路径上的精确位置和带噪声的场力分量。梯形法的力—位移积分只用这些记录。阻力功另外由模型计算，并不算作测量结果。回放、选路径、改阻力或求积设置，会保留场力记录；改几何、方向、场或传感器，记录就会清空。

路径是给定的。场力做功和滑动耗散分开计算，不求解驱动和接触动力学。

先抓重点

核心问题: 到达相同终点，做功就相同吗？
一句话直觉: 沿一条闭合路径做功为零，不能证明处处都存在势能。

核心数学模型

含保守部分和旋转部分的力

\begin{aligned}\mathbf F&=(-kx-\gamma y,\,-G-ky+\gamma x)\\U_c&=\tfrac12k(x^2+y^2)+Gy\end{aligned}

只有弹性力和均匀向下的力来自这个势能。

沿路径的功积分

W_C=\int_0^1\mathbf F(\mathbf c(q))\cdot\mathbf c^{\prime}(q)\,\mathrm dq

只有沿路径切向的分力做功。路径参数不是时间；装置由驱动带着沿选中路径走。

绕行方向与旋度

\begin{aligned}A_{\mathrm{or}}&=\tfrac12\oint(x\,\mathrm dy-y\,\mathrm dx)\\\oint\mathbf F\cdot\mathrm d\mathbf r&=2\gamma A_{\mathrm{or}}\end{aligned}

沿第一条路径正着走、沿第二条倒着走，确定绕行方向。路径自交时，各部分按绕行方向带正负号计入。

耗散不反号

\begin{aligned}W_f&=-fL\\W_{f,\mathrm{loop}}&=-f(L_A+L_B)\end{aligned}

阻力取决于行进方向，所以它在闭合路径上的功，不是任何只依赖位置的场的旋度积分。

由采集到的力估计功

\widehat W_C=\sum_i\frac{\mathbf F_i^{\mathrm{obs}}+\mathbf F_{i+1}^{\mathrm{obs}}}{2}\cdot(\mathbf r_{i+1}-\mathbf r_i)

在这次模拟采集里，位置是精确的，场力分量带有确定性的有界噪声。

常见难点

反向绕行

容易误解闭合路径反过来走，所有功都会反号。

正确理解只依赖位置的场力，做功确实反号。滑动阻力会转向，跟新的运动方向相反，照样消耗能量。

动手实验

01
固定端点
编辑每条路径上的两个内部点。
你会看到： 路径长度变了，势能部分做的功仍然不变。
02
给场加上环量
选择旋转场，再改变它的符号。
你会看到： 沿闭合路径的场力功随有向面积变化，路径反向时功也反号。
03
加入阻力
设定滑动阻力，再把两条路径都反过来。
你会看到： 场力项反号，阻力项始终为负。
04
测出闭合功
采集场力，增加扫描区间，再和模型比较。
你会看到： 测得的闭合功来自力乘位移的求和；阻力仍然单独计算。