滚动几何 · 外旋轮线

外滚绘线机

圆心不停走，笔尖为什么在尖点停住？ 因为在尖点处，笔尖正好落在接触点上，而无滑动滚动的圆盘在接触点处速度为零。圆心向前走，自转把轮缘上的这一点往后带，两者在这一瞬间正好抵消。把笔移到轮缘以内，尖点会变圆；伸到轮缘外，尖点就变成回环。

引导圆盘沿固定圆外侧滚动。画心形线、肾形线和多尖点曲线，再让笔尖伸出轮缘形成回环。尖点处笔尖停住，圆心却继续运动。

笔尖水平位置 $0$

笔尖竖直位置 $0$

笔尖速率 $0$

笔尖加速度大小 $0$

自转与公转角速度之比 $0$

接触处材料点速率 $0$

公转一圈耗时 $0$

几何约束残差 $0$

滚动与绘线

移动笔位，改变花形。

公转相位

\theta

255.00\,{}^\circ

指定公转角速率

\omega

45.00\,{}^\circ/\mathrm s

固定圆与滚圆半径之比

n=R/r

3.00\,

笔位距离与滚圆半径之比

k=d/r

1.00\,

固定圆半径

R

1.20\,\mathrm m

运动在一个平面内，向右、向上为正，景深方向朝向你。公转相位从右方起逆时针计正。控件用度，计算和 CSV 用弧度、米和秒。自转角相对固定的实验室坐标系计算。

蓝色是滚圆，灰色是固定圆，金色是刚性笔臂，珊瑚色标出笔尖和笔迹，薄荷色标出接触点。后方的载臂设定圆心轨道。描点头和转轴都在架高的透明平面下方。一段很短的理想垂直投影把笔迹画在算出的笔位正上方；伸出轮缘的笔臂从固定圆上方越过。

外滚时，圆盘自转和公转同向。两圆一样大、笔在轮缘上时画出心形线；半径比为二时画出肾形线；其他整数比给出相应数目的尖点。笔往里移，尖点变圆；伸出轮缘，就出现回环。

接触位置沿固定圆移动，但滚圆上此刻处在接触处的那一点速度为零：圆心平移的速度和自转带来的速度正好抵消。接触图以公转前进的切向为正，画的是速度分解，不是受力图。

半径比为整数时，整台装置在圆心公转一圈后回到初始状态；某些特殊笔迹会更早重复。播放走完一个区间就停。浅色的完整笔迹是理想参考，亮色笔迹是同一条算出的轨迹走到当前相位的那一段。曲线和 CSV 是解析运动学的采样，不是测量数据。

无滑动滚动和圆心轨道都是直接规定的，模型不计算维持它们需要多大的摩擦力或法向力。圆半径和笔位按同一比例画出；厚度、笔迹宽度和硬件间隙只是示意。齿形、受力、惯性、重力、打滑和接触脱离都不模拟。

圆盘被设定为在平面内无滑动地滚动，半径比只取整数。架高的光学描点臂可以伸出滚轮边缘。这是一台画几何曲线的装置，不是带载齿轮或转子发动机的模拟。

先抓重点

核心问题: 圆心在走，轮缘上的点却能静止吗？
一句话直觉: 在接触点，圆心平移带来的速度和自转带来的速度正好抵消。笔在轮缘上时，每到一个尖点都会经过这一瞬间的静止。

核心数学模型

圆心与自转

\mathbf C=(R+r)(\cos\theta,\sin\theta),\quad\phi=(n+1)\theta

半径比取正整数，内滚时至少为二。自转角相对固定坐标系计算。

笔尖轨迹方程

\mathbf P=\mathbf C-d(\cos\phi,\sin\phi),\quad d=kr,\quad n=R/r

笔尖到滚圆圆心的距离固定。开始时，无论内滚还是外滚，笔尖所在的半径都指向接触点。

尖点接触

d=r,\quad\theta=\frac{2\pi j}{n}\;\Longrightarrow\;\mathbf P=\mathbf K,\quad\dot{\mathbf P}=\mathbf 0

到了这些相位，轮缘上的笔正好落在接触点上，并在这一瞬间静止。

无滑动时材料点的速度

\mathbf v_K=\dot{\mathbf C}+\dot\phi\,\hat{\mathbf z}\times(\mathbf K-\mathbf C)=\mathbf0,\quad\mathbf K=R(\cos\theta,\sin\theta)

接触标记沿固定圆移动，但那里的材料点在这一瞬间相对固定圆静止。

速率缩放

\mathbf v=\omega\frac{d\mathbf P}{d\theta},\quad\mathbf a=\omega^2\frac{d^2\mathbf P}{d\theta^2},\quad T=\frac{2\pi}{\omega}

读数、动画时序、曲线和导出数据都来自同一套运动的解析导数。

常见难点

接触点不是轮缘上固定的一点

容易误解移动的接触标记一定和滚动表面材料同速。

正确理解轮缘上不同的点轮流到达标记处。材料的速度要看此刻接触的那一点本身怎么动，不能把接触位置移动的快慢当成材料速度。

无滑动只是这里的假设

容易误解画面证明任意速率都能靠摩擦维持接触。

正确理解这里圆心轨道和无滑动自转都是直接给定的。需要多大接触力、摩擦极限在哪里、功率和惯性怎样、会不会脱离接触，都要另建动力学模型。

动手实验

01
跟住接触点
选择接触视角，缓慢推进公转相位，查看速度分解。
你会看到： 接触位置一直往前走，但此刻贴着固定圆的那一点，速率为零。
02
找到尖点
选择心形线，将相位设为零；再把笔位向内、向轮缘之外移动。
你会看到： 轮缘笔在尖点处停住。内移后轨迹圆滑，外伸后出现回环。
03
先改形状，再改快慢
换几个整数半径比试试，再把公转角速率加倍，比较轨迹、速度和加速度。
你会看到： 只改速率，轨迹不变。速度变成两倍，加速度变成四倍，整台装置仍在公转一圈后回到初始状态。

几何来源：Robert Ferréol · Hypotrochoid · Epitrochoid