M001 · 运动学

运动图像工作台

一条画出的曲线，能决定整个运动吗？ 画位置曲线可以：斜率就是速度，斜率的变化就是加速度。画速度曲线只能算出位置变了多少，还得知道从哪里出发；画加速度曲线，连初速度也得另外给。

画出位置、速度或加速度曲线，看三维小车照着运动。带正负号的斜率和面积告诉你小车什么时候掉头，路程和位移又为什么不同。

选中时间 $\text{就绪}$

参考位置 $\text{就绪}$

参考带符号速度 $\text{就绪}$

参考带符号加速度 $\text{就绪}$

选中驱动量 $\text{就绪}$

带符号速度面积 $\text{就绪}$

已行路程 $\text{就绪}$

带符号加速度面积 $\text{就绪}$

画一段运动，再拖动时间对比图像

看正负号理解运动

驱动：0 位置；1 速度；2 加速度

j

1.00\,

时长

T

6.00\,s

积分初始位置

x_0

0.00\,m

积分初始速度

v_0

0.00\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}

第 0 个驱动节点

q(0T/6)

0.00\,

第 1 个驱动节点

q(1T/6)

2.00\,

第 2 个驱动节点

q(2T/6)

2.00\,

第 3 个驱动节点

q(3T/6)

0.00\,

第 4 个驱动节点

q(4T/6)

-2.00\,

第 5 个驱动节点

q(5T/6)

-2.00\,

第 6 个驱动节点

q(6T/6)

0.00\,

回放比例

\tau

0.40\,

先选要画的量：位置、速度或加速度。七个等间隔节点连成一条自然三次样条。“自然”只表示这条曲线在两端节点的二阶导数为零，并不表示小车在开头和结尾静止。节点之间，曲线可能冲过节点值。

无论哪种模式，位置、速度和加速度都连续变化。积分每经过一个节点，都把积分常数带到下一段。画速度或加速度时才用到初始位置，画加速度时才用到初始速度。切换模式后，节点数值不变，改按新显示的单位来读。

速度曲线下的蓝色面积是位移，带正负号；加速度曲线下的铜色面积是速度变化，也带正负号。算路程时，在速度单独过零的每个时刻把精确位置多项式切开，再把每段移动的大小加起来；静止的时段不增加路程。另有一个 480 个小区间的梯形求和作对比，它保留自己的采样误差。

运动是直接给定的，不计算受力。轨道长度覆盖整段运动，两端没有墙。小车尺寸和抬高的箭头只是示意。蓝色速度箭头和铜色加速度箭头各用一套比例，同一条轨迹里比例不变。定量图像都在装置下方。

拖动蓝色节点，或者用对应的滑条，滑条也能用键盘操作。拖动金色时钟，可以查看到任一时刻为止的运动。导出的是模型曲线，不是测量数据。页面不会自动播放；没有 WebGL 时，图像和控件照样能用。

运动是为教学预先给定的。曲线怎样插值、测量能说明什么不能说明什么，都明确交代。

先抓重点

核心问题: 一条画出的曲线，能决定整个运动吗？
一句话直觉: 对图像积分需要初值；横轴下方的面积要算作负值。

核心数学模型

速度和加速度都是斜率

v=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt},\qquad a=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}

三条曲线描述的是同一个运动，改了驱动曲线，三条会一起变。

积分需要初值

\begin{aligned}v(t)&=v_0+\int_0^t a(s)\,\mathrm ds\\x(t)&=x_0+\int_0^t v(s)\,\mathrm ds\end{aligned}

反向之后，正负面积可能互相抵消。

路程把回程也算进去

D(t)=\int_0^t|v(s)|\,\mathrm ds\geq|x(t)-x(0)|

速度的零点把每段多项式再分成几段，每段只朝一个方向走。

所选驱动的自然边界

q\in\{x,v,a\},\qquad q^{\prime\prime}(0)=q^{\prime\prime}(T)=0

输入样条的二阶导数连续；自然边界并不意味着速度为零。

常见难点

自然样条边界是什么意思

容易误解自然样条边界意味着小车在两端静止。

正确理解位置、速度、加速度三者任选一个作为驱动，七个等时间隔的节点构成它的自然三次样条。只有驱动曲线在两个外端点的二阶导数为零，并不表示小车起止时静止。样条还可能冲过节点值。

动手实验

01
选择驱动
对比画出位置、匀速运动与恒加速度。
你会看到： 初值只对积分得到的曲线有用。
02
编辑并反向
把蓝色节点拖过零，再拖动金色时钟。
你会看到： 速度为负时，小车沿轨道往回走。
03
区分路程与位移
选择反向与返回，把时钟拖到末尾。
你会看到： 小车走了一段路，位移却可以回到零。
04
检查积分
把精确位置和单独的梯形积分曲线对照。
你会看到： 梯形求和的采样误差如实保留，不会被强行归零。

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