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Sandbox Physics

M001 · 运动学

运动图像工作台

编辑位置、速度或加速度，将带符号斜率与面积连接到三维小车、反向运动以及路程和位移的区别。

交互模型运动图像工作台
选中时间就绪\text{就绪}
参考位置就绪\text{就绪}
参考带符号速度就绪\text{就绪}
参考带符号加速度就绪\text{就绪}
选中驱动量就绪\text{就绪}
带符号速度面积就绪\text{就绪}
已行路程就绪\text{就绪}
带符号加速度面积就绪\text{就绪}

物理教程

运动图像工作台

背景运动图像编码变化率及带符号累积。

为什么值得理解编辑位置、速度或加速度，将带符号斜率与面积连接到三维小车、反向运动以及路程和位移的区别。

先抓重点

核心问题
一条画出的曲线，能决定整个运动吗？
一句话直觉
积分需要初值，符号变化很重要。

核心数学模型

相连的导数

v=dxdt,a=dvdtv=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt},\qquad a=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}

改变驱动会改变整个轨迹，而非三条独立曲线。

积分需要初值

v(t)=v0+∫0ta(s) dsx(t)=x0+∫0tv(s) ds\begin{aligned}v(t)&=v_0+\int_0^t a(s)\,\mathrm ds\\x(t)&=x_0+\int_0^t v(s)\,\mathrm ds\end{aligned}

反向后带符号面积可能抵消。

路程保留返回行程

D(t)=∫0t∣v(s)∣ ds≥∣x(t)−x(0)∣D(t)=\int_0^t|v(s)|\,\mathrm ds\geq|x(t)-x(0)|

速度零点将多项式分为单调行程段。

所选驱动的自然边界

q∈{x,v,a},q′′(0)=q′′(T)=0q\in\{x,v,a\},\qquad q^{\prime\prime}(0)=q^{\prime\prime}(T)=0

输入样条二阶导数连续；自然边界不意味着零速度。

常见难点

模型与证据

容易误解自然样条边界意味着零速度。

正确理解选择位置、速度或加速度作为驱动。七个等时节点构成自然三次样条；只有驱动曲线在外侧端点的二阶导数为零，并不表示小车起止静止。样条可能超出节点值。

动手实验

  1. 01

    选择驱动

    对比画出位置、匀速运动与恒加速度。

    应该观察到： 初值只在积分时适用。
  2. 02

    编辑并反向

    将蓝色节点拖过零，再拖动金色时钟。

    应该观察到： 负速度沿轨道返回。
  3. 03

    区分路程与位移

    将反向与返回拖到末尾。

    应该观察到： 带符号位移可在非零行程后归零。
  4. 04

    核对积分

    将精确位置与独立梯形积分轨迹对照。

    应该观察到： 保留采样误差，不强制归零。