位置、速度和加速度图像：怎样描述运动

一条位置随时间变化的曲线，既告诉我们物体在哪里，也能告诉我们它朝哪边运动、速度怎样变化。关键是分别读出曲线的高度和斜率。

设想一辆沿直轨移动的小车。它先向右走，逐渐慢下来，随后掉头向左。只说“小车最后回到了起点”，会丢掉中间的大部分信息。我们希望用一套说法，把整段运动交代清楚。

这一章只研究沿一条直线的运动，用小车上的一个固定点表示它的位置。暂时不讨论小车为什么这样运动。导数和积分会从图像中逐步引入，不需要提前学过。

1.1 先说清楚从哪里量

在轨道上选一个原点，规定向右为正方向。小车的位置用 $x$ 表示，单位是米；时刻用 $t$ 表示，单位是秒。

小车在原点右侧三米时，位置是 $x=3\,\mathrm m$ ；在左侧三米时，位置是 $x=-3\,\mathrm m$ 。负号告诉我们它在原点的哪一边。

位置本身不能告诉我们小车正在朝哪里走。经过右侧三米的位置时，它可能继续向右，也可能正在返回。判断运动方向，需要比较相邻时刻的位置。

若起始和结束时刻分别为 $t_1$ 、 $t_2$ ，位移定义为末位置减去初位置：

\Delta x=x(t_2)-x(t_1).

符号 $\Delta$ 表示两个时刻之间的变化。位移可以为正、为负，也可以为零。

路程则把沿途走过的长度都算进去。小车从原点向右走四米，再沿原路返回，路程是八米，位移是零。这里采用的是一维运动中常用的位置、位移和路程定义，参见 OpenStax《University Physics》第一卷第 3.1 节。

1.2 一次往返怎样画成曲线

先看下面这段专门为本章设定的运动。表中数字由给定的数学模型计算，表示理想位置，不是相机采集的数据。

**表 1.1**　一次往返运动在五个时刻的位置。
时刻（秒）	位置（米）
0	0
1	3
2	4
3	3
4	0

为了交代两个记录时刻之间的运动，我们进一步规定：在零到四秒内，位置遵循

x(t)=ut-bt^2, \qquad u=4\,\mathrm{m\,s^{-1}}, \qquad b=1\,\mathrm{m\,s^{-2}}.

这里 $u$ 和 $b$ 是给定的常数。两项都具有长度单位，因此可以相减。现在不必先学求导；把时刻代进去，就能核对表中的每一个位置。

图 1.1　上图是位置，中图是速度，下图是加速度；横轴都是时间。虚线标出两秒时的转向。中图两块阴影的带符号面积分别为正四米和负四米。

三条曲线均由本章给定的理想运动计算；圆点是表 1.1 的位置，不代表额外的测量。

先只看最上面的图。前两秒，位置一直增加；后两秒，位置一直减少。小车到达最右边时，位置曲线先升后降。

这张图的横轴是时间，纵轴是位置，纸上的弯曲形状并不是轨道形状。小车从始至终都沿直轨运动。

只有表中的五个位置，还不足以确定完整运动。小车可能在相邻记录之间多走一段再回来。这里之所以能画出确定的平滑曲线，是因为我们还给定了位置函数。下一章会专门讨论，只有离散记录时能推断到哪一步。

1.3 速度来自位置图的斜率

从零秒到一秒，小车向右移动了三米。这一秒的平均速度是三米每秒。任取两个时刻，平均速度都这样定义：

\overline v =\frac{\Delta x}{\Delta t} =\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}, \qquad t_2>t_1.

位置图上连接这两个时刻的直线，其斜率正是这段时间的平均速度。纵向变化的单位是米，横向变化的单位是秒，相除后得到米每秒。

小车的运动不均匀，一整秒的平均值未必等于某一瞬间的速度。要问“一秒时有多快”，可以先比较一秒到一点五秒，再比较一秒到一点一秒，逐渐缩短时间间隔。

把本章的位置函数代入，有

\begin{aligned} \frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t} &=\frac{u\Delta t-b\bigl(2t\Delta t+(\Delta t)^2\bigr)}{\Delta t}\\ &=u-2bt-b\Delta t. \end{aligned}

取 $t=1\,\mathrm s$ ，结果列在表 1.2 中。

**表 1.2**　从一秒开始、长短不同的时间间隔内的平均速度。
随后比较的时间间隔（秒）	这段时间的平均速度（米每秒）
0.5	1.5
0.1	1.9
0.01	1.99

时间间隔越小，结果越接近二米每秒。我们把时间间隔趋近于零时的极限称为瞬时速度，通常就简称速度。这也是位置函数对时间的导数：

v(t)=\lim_{\Delta t\to0} \frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t} =\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}.

从图上看，连接两点的直线逐渐接近该处的切线。切线的斜率给出那一瞬间的位置变化率。瞬时速度与速率的定义可对照 OpenStax 第一卷第 3.2 节。

对本章的运动，刚才的代数计算已经给出

v(t)=u-2bt.

于是，一秒时的速度为正二米每秒，三秒时为负二米每秒。两次经过同一个位置，运动方向却相反。

在一维运动中，速度的正负说明方向；速率只取速度的大小，记作 $\lvert v\rvert$ 。这两个时刻的速率都是二米每秒。

读位置图时，可以依次问：曲线正在上升还是下降？斜率有多大？斜率的大小又在怎样变？曲线的高度只回答位置，后面这些问题才涉及速度。

1.4 加速度说明速度怎样改变

速度图也有斜率。它表示速度变化的快慢，称为加速度：

\overline a=\frac{\Delta v}{\Delta t}, \qquad a(t)=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}.

加速度的单位是米每二次方秒，意思是速度每秒改变多少米每秒。它同时保留方向，参见 OpenStax 第一卷第 3.3 节。

本章的速度每过一秒就减少二米每秒，因此整段运动的加速度恒为

a=-2b=-2\,\mathrm{m\,s^{-2}}.

前两秒，小车向右，速度为正。负加速度让速度逐渐接近零，小车变慢。后两秒，小车向左，速度为负；速度继续减小，绝对值反而增大，小车越走越快。

可见，负加速度并不总表示减速。沿直线运动且速度不为零时，速度与加速度同向，速率增大；方向相反，速率减小。

在转向那一瞬间，速度为零，加速度仍为负二米每二次方秒。小车只是瞬时停住，紧接着就向左运动。要判断是否在一段时间内静止，应当看这段时间的位置是否一直不变。

1.5 从速度图找回位移

假如速度恒定，位移等于速度乘以经过的时间。画在速度图上，就是一个矩形的带符号面积。

速度变化时，可以把时间分成许多小段，每段暂用一个代表速度估计位移，再把它们相加。时间段不断缩小时，这样的累积给出速度对时间的积分：

x(t_2)-x(t_1)=\int_{t_1}^{t_2}v(t)\,\mathrm dt.

现在只需把积分理解为连续累积。速度图横轴下方的面积要带负号，因为那一段运动让位置减小。

图 1.1 中，前两秒是一个底为两秒、高为四米每秒的三角形，其面积是四米。后两秒的三角形位于横轴下方，带符号面积为负四米。两段相加，位移是零。

计算路程时，回程也要增加总长度。分别取两段运动长度的大小相加，得到八米。也可以写成

D=\int_0^{4\,\mathrm s}\lvert v(t)\rvert\,\mathrm dt=8\,\mathrm m.

速度图决定的是位置改变了多少。要知道小车的实际位置，还需要起始位置：

x(t)=x(0)+\int_0^t v(s)\,\mathrm ds.

积分里的 $s$ 只是用来遍历时间的变量，单位仍是秒。两辆车可以有完全一样的速度图，只是一直相隔两米。这个位置差只能由初始位置给出。

1.6 例题：回到起点的一次运动

仍考虑图 1.1 中零到四秒的运动。求转向时刻、总位移、总路程、全程平均速度和平均速率。

先判断如何分段。转向前后，小车沿不同方向运动，所以计算路程时应在转向处分开。由速度关系求转向时刻：

u-2bt=0 \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{u}{2b}=2\,\mathrm s.

把它代回位置函数，得到最右位置为四米。小车由零米走到四米，再从四米回到零米，所以

\begin{aligned} \Delta x&=0\,\mathrm m,\\ D&=4\,\mathrm m+4\,\mathrm m=8\,\mathrm m. \end{aligned}

平均速度用位移除以总时间，平均速率用总路程除以总时间：

\overline v=\frac{0\,\mathrm m}{4\,\mathrm s}=0\,\mathrm{m\,s^{-1}}, \qquad \overline{\lvert v\rvert} =\frac{8\,\mathrm m}{4\,\mathrm s} =2\,\mathrm{m\,s^{-1}}.

平均速度为零，与小车最后回到起点相符。平均速率为正，与它确实走过八米相符。再看速度图，两块带符号面积恰好抵消，也能独立检查位移结果。

1.7 在运动图像工作台中比较

打开运动图像工作台。这里可以给定位置、速度或加速度曲线，查看另外两条曲线和小车运动。

先看匀速运动。 选择“匀速运动”，拖动金色时钟。操作前，先画出你预想的位置图、速度图和加速度图。查看后说明：哪条图是倾斜直线，哪条图是水平线？水平线的高度分别表示什么？

再看返回。 选择“反向与返回”。先根据速度曲线预测小车在哪些时间段向右、在哪些时间段向左，再拖动时钟比较。把时钟移到末尾，分别记录“带符号速度面积”和“已行路程”。解释为什么这两个读数可以不同。

最后改变起点。 重新选择“匀速运动”，记录初始位置。保持速度曲线不变，只把“积分初始位置”增加两米，然后比较整段位置图、速度图、位移和路程。用一句话说明，哪种信息必须由初值补上。

没有打开工作台的读者，可以用表 1.3 跟上推理。时钟都放在记录末尾。

**表 1.3**　运动图像工作台三种设置在记录末尾的结果。
设置	时长（秒）	末位置（米）	带符号速度面积（米）	已行路程（米）
反向与返回（默认）	6	0	0	8.8
匀速运动	6	6	6	6
匀速运动，积分初始位置为 2 米	6	8	6	6

“反向与返回”中，小车在三秒时到达最右的 4.4 米，随后返回原点，所以位移为零，路程是 8.8 米。改变积分初始位置后，整条位置图向上平移两米；速度图、位移和路程都不变。

这里的曲线由七个节点之间的平滑插值确定，节点之间也可能出现转向，要看完整曲线。工作台给定的是理想运动，不计算产生这种运动所需的力；“导出模型 CSV”保存的是模型数值。图 1.1 的解析例子是本章另行设定的运动，参数与工作台的默认曲线不同。

1.8 习题

一辆车位于原点右侧三米。仅凭这个位置，能否判断它向左还是向右？说明还需要什么信息。
小车从左侧两米走到右侧三米，途中一直向右，用时五秒。求位移、路程、平均速度和平均速率。
一条位置图在一段时间内高于横轴，但一直向下倾斜。位置和速度的正负分别是什么？小车在靠近原点吗？
对图 1.1 的运动，只考虑一秒到三秒。求这段时间的位移、路程、平均速度和平均速率。
小车某时刻的速度为负二米每秒，加速度为正一米每二次方秒。就在该时刻附近，它的速率正在增大还是减小？如果加速度持续不变，两秒后会怎样？
两辆车的速度图完全相同，初始位置相差两米。它们的位置图、位移和路程分别有什么关系？
相机每秒记录一次位置，五个位置恰好是表 1.1 的数字。能否由此断定两秒时的瞬时速度一定为零？说明你的判断依赖什么假设。
自己设计一段先向右、后向左且最终回到起点的运动。给出两段各自的恒定速度和持续时间，计算平均速度与平均速率。这个分段模型在转向时有什么理想化？
迁移题。一部电梯从地面上升 30 米用了 15 秒，在楼层停 10 秒，再下降 12 米用了 8 秒。取向上为正，把每段运动近似为匀速，画出速度图的形状，并求全程的位移、路程、平均速度和平均速率。启动和停止时，这个近似忽略了什么？

1.9 答案与解释

第 1 题

不能。位置只说明车在哪里。还需相邻时刻的位置变化，或该时刻的速度，才能判断运动方向。

第 2 题

位移是正五米；因为全程向右，路程也是五米。平均速度为正一米每秒，平均速率为一米每秒。若中途有折返，路程可能增加，末位置与位移仍可相同。

第 3 题

位置为正，速度为负。只要曲线仍在横轴上方，小车就在从右侧靠近原点。经过原点后若继续向左，它会离原点越来越远。

第 4 题

一秒和三秒的位置同为三米，所以位移与平均速度都是零。小车先从三米到四米，再返回三米，路程为两米；经过两秒，平均速率为一米每秒。

第 5 题

当时速度与加速度方向相反，速率正在减小。若加速度保持不变，两秒后速度达到零；继续保持这一加速度，小车随后向右运动。两秒后的瞬时静止不代表此后一直静止。

第 6 题

位置图在纵向上始终相差两米。同一段时间内，它们的位置变化相同，速度大小也处处相同，因此位移与路程分别相同。

第 7 题

不能。五个记录没有唯一确定记录之间的运动。采用本章给定的二次位置函数时，两秒时的速度为零。若只有离散位置，还可以构造经过同样五点、却在两秒时斜率不同的平滑曲线。

例如取 $x(t)=ut-bt^2+k\sin(\pi t/\tau)$ ，其中 $\tau=1\,\mathrm s$ ， $k$ 是任意长度。整数秒时正弦项为零，五个位置不变；两秒时的速度却变成 $k\pi/\tau$ 。要选出唯一曲线，必须另外假设运动足够平滑，或者记录得更密。

第 8 题

例如，先以正二米每秒走两秒，再以负一米每秒走四秒。位移为正四米加负四米，等于零；总路程八米，总时间六秒，所以平均速率为三分之四米每秒，平均速度为零。

转向点处速度不连续，普通的瞬时加速度没有定义。真实小车需要一段有限时间完成速度变化。

第 9 题

速度图由三段水平线组成：零到十五秒为正二米每秒，十五到二十五秒为零，二十五到三十三秒为负一点五米每秒。

位移是 $30\,\mathrm m-12\,\mathrm m=18\,\mathrm m$ ，路程是 $30\,\mathrm m+12\,\mathrm m=42\,\mathrm m$ ，总时间 33 秒。平均速度约为 $0.55\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ ，方向向上；平均速率约为 $1.27\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 。停留的十秒不产生位移，但要计入总时间。

匀速近似让速度在启动和停止的瞬间跳变，相当于假设加速度无限大。真实电梯要用几秒加速和减速。只要每段的位移不变，位移、路程和平均值不受影响，但速度图在拐角处会变成斜坡。

接下来：相机实际记录了什么

本章从一条已知的位置曲线出发，用斜率找速度，用速度图下的带符号面积找位移。真实相机只给出有限时刻的记录。下一章将从这些记录出发，看看标定、帧率和位置噪声怎样影响对运动的判断。

图表与数据说明

本章的基本定义已对照 OpenStax《University Physics》第一卷第 3.1、3.2、3.3 节；例题、习题及其参数独立编写。
图 1.1 的曲线按本章位置函数及其解析导数绘制，时间范围为零到四秒；圆点间隔一秒。没有使用测量数据。
表 1.3 由运动图像工作台的模型代码在默认时长下计算，时钟位于记录末尾。该模型没有随机量，重新运行得到相同结果。

到 Lab 里检验

每次只改一个设置，再把看到的结果和本章的表格、答案对照。

运动图像工作台 →画出位置、速度或加速度曲线，看三维小车照着运动。带正负号的斜率和面积告诉你小车什么时候掉头，路程和位移又为什么不同。

来源与核读范围

OpenStax, University Physics Volume 1, §3.1 Position, Displacement, and Average Velocity
对照一维运动中位置、位移、路程和平均速度的定义。本章例题与习题独立编写。
OpenStax, University Physics Volume 1, §3.2 Instantaneous Velocity and Speed
对照瞬时速度作为平均速度极限和位置导数的定义，以及速率是速度大小的定义。
OpenStax, University Physics Volume 1, §3.3 Average and Instantaneous Acceleration
对照一维运动中平均加速度、瞬时加速度的定义、单位和正负号。