怎样检验匀加速模型？

一次下落的相机记录就能测出重力加速度。先假设加速度恒定，推出高度随时间变化的二次函数；再找出与记录最接近的那条曲线，它的二次项给出重力加速度。结果是否可信要看两件事：拟合后剩下的偏差有没有规律，重复下落时结果是否稳定、是否接近独立已知的值。

设想在一座 30 米高的落体塔顶释放一个小球。侧面的相机每秒拍 20 帧，每帧给出小球的高度，误差约 1 厘米；相机已经按第 2 章的方法标定好。塔的中段还装着一个光电门。

本章的数据来自自由落体与重力测量 Lab。和上一章一样，Lab 知道真实运动，所以能告诉我们估计偏了多少；真实实验只能靠本章的检查方法。这里把重力加速度当作已知的常数，它为什么对所有物体都相同，要等第 6 章讲力、第 14 章讲引力时再回答。

3.1 坐标与已知条件

取竖直向上为正，地面为原点，小球的高度记作 $y$，单位是米。释放高度为 $h$，初速度为 $v_0$，向上为正。小球视为一个点，先不计空气阻力。

在这些条件下，假设小球的加速度在整段下落中保持不变，等于 $-g$。负号表示加速度向下。地面附近 $g$ 约为 $9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}}$，这也是 Lab 的默认值。本章要做的，就是从一份记录检验这个假设，并测出 $g$。

3.2 从恒定加速度推出速度和位置

第 1 章说过，速度的改变量等于加速度图下的面积，位移等于速度图下的面积。加速度恒为 $a$ 时，加速度图是一条水平线，零到 $t$ 之间的面积是 $at$，所以

速度图因此是一条斜线。零到 $t$ 之间速度图下的区域是一个梯形，两条平行边分别是 $v_0$ 和 $v(t)$，高是 $t$：

对自由下落，取 $a=-g$：

从这两式消去 $t$ 还能得到一个有用的关系。由第一式解出 $t=(v-v_0)/a$，代入梯形面积，得到 $y-h=(v^2-v_0^2)/(2a)$，即

这些关系可对照 OpenStax《University Physics》第一卷第 3.4 节和第 3.5 节。检查一下：每一项的单位都是米或米每秒；令 $a=0$，结果回到第 1 章的匀速运动。

3.3 初始条件决定是哪一条抛物线

在同一个 $g$ 下，高度随时间的曲线都是开口向下、形状相同的抛物线。$h$ 决定曲线从哪个高度出发，$v_0$ 决定出发时的斜率。两者合称初始条件。只知道 $g$，还不能预测一次具体的运动。

举例来说，从 15 米高处以 $14\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 向上抛出小球。速度为零时到达最高点：

落地时 $y=0$，解二次方程 $15+14t-4.905t^2=0$，取正根得 $t\approx3.684\,\mathrm s$。用速度与高度的关系，落地速度为 $-\sqrt{v_0^2+2gh}\approx-22.14\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，负号表示向下。

Lab 的“向上抛出”预设正是这组初始条件，给出的落地时刻是 $3.68427\,\mathrm s$。Lab 以 $0.01\,\mathrm s$ 的步长数值求解运动，结果与上面的公式在这些位数上相同。

3.4 例题：预测一次落体

从 30 米高的塔顶由静止释放小球，$g=9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。求落地时刻、落地速度，以及小球经过 15 米高的光电门时的速度。光电门测速的方法是让小球带着一片 10 厘米长的遮光片通过，求遮光时间。

由静止释放，$v_0=0$。落地时 $y=0$，所以

落地速度是 $-gt\approx-24.26\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。用 $v^2=2g(h-y)$ 独立检查：$\sqrt{2\times9.81\times30}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\approx24.26\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，一致。

到光电门时下落了 15 米，速率为 $\sqrt{2\times9.81\times15}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\approx17.16\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。遮光片通过所需时间约为

这里把通过期间的速度当作不变。这段时间里速度只改变 $g\times5.83\,\mathrm{ms}\approx0.057\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，约为速度本身的 0.3%，近似是合理的。

相机每 $0.05\,\mathrm s$ 拍一帧，从 0 到 $2.45\,\mathrm s$ 共 50 帧有记录。Lab 的“地球落体塔”预设给出落地时刻 $2.4731\,\mathrm s$、光电门速度 $17.1552\,\mathrm{m\,s^{-1}}$、遮光时间 $5.8292\,\mathrm{ms}$，与预测相符。

3.5 从记录反推参数：拟合

现在把问题反过来：手里有 50 个带噪声的高度 $y_n$ 和它们的时刻 $t_n$，要求 $h$、$v_0$ 和 $g$。

对任何一组试探值，每一帧都有一个残差，即记录值减去模型值：

最小二乘拟合选取让 $S=\sum r_n^2$ 最小的那组参数。取平方有三个好处：正负残差不会互相抵消；偏得越远的点权重越大；参数以一次方出现在模型里，所以最小值由三个一次方程唯一确定。这套方法的说明见 NIST 工程统计手册第 4.1.4.1 节。

先看最简单的情形，体会它为什么合理。若模型只是一个常数 $c$，那么

这是 $c$ 的二次函数，开口向上，最低点处斜率为零，于是 $c=\frac1N\sum y_n$。用一个常数拟合数据，最小二乘给出的正是平均值。三个参数的情形道理相同，只是要同时满足三个“斜率为零”的条件，推导放在 3.9 节。

对“地球落体塔”的默认记录，拟合结果是

“$\pm$”后面的数叫标准误。它由残差大小和记录时刻的分布算出，表示同样的实验重复做时结果大约散开多少。3.7 节会用重复下落检查它。

3.6 残差：模型还缺什么

拟合总能给出一组参数，哪怕模型是错的。要判断模型是否够用，就要看拟合后剩下的残差。

模型完整、噪声随机时，残差应当围绕零上下散布，看不出趋势，均方根接近噪声本身的大小。默认记录的残差均方根是 $8.7\,\mathrm{mm}$，与设定的 $1\,\mathrm{cm}$ 噪声相当。三个参数已经吸收了一部分噪声，所以残差略小一些是正常的。

“阻力让拟合偏离”预设加入线性空气阻尼，阻尼率为 $0.5\,\mathrm{s^{-1}}$，其他条件与地球落体塔相同。小球受到的阻力随速度增大，加速度不再恒定。仍用同一个二次模型拟合，得到

$\hat g$ 偏低一半以上；小球明明由静止释放，拟合却给出一个向下的初速度。这些参数都在替模型缺少的阻力“打补丁”。

残差的形状说明了问题。下图的残差均方根是 $232\,\mathrm{mm}$，是噪声的二十多倍，而且呈波浪形：开头约 $-618\,\mathrm{mm}$，第 10 帧和第 20 帧为正，第 40 到 50 帧为负，最后一帧约 $+499\,\mathrm{mm}$。随机噪声不会排成这样。有规律的残差说明模型漏掉了某种物理过程。

这里的标准误只有 $0.08\,\mathrm{m\,s^{-2}}$，看上去很精确，结论却错了一半。标准误只描述数据的分散，不检查模型对不对；检查模型要看残差，判断残差的方法见 NIST 手册第 4.4.4 节。

3.7 精密度与准确度

计量学区分两个常被混用的词。精密度说的是重复测量的结果彼此接近的程度；准确度说的是测量结果与真值接近的程度，见国际计量学词汇 VIM 第 2.15 条与第 2.13 条。一个结果可以很精密却不准确。

在 Lab 中点“采集新的一次落体”，物理参数不变，只换一组噪声。我们对地球落体塔重复了 500 次，噪声样本编号从 431 到 930：

一次下落报告的标准误约为 0.0061，500 次结果的实际标准差约为 0.0062，两者相符。这说明在模型正确、噪声独立的条件下，单次拟合的标准误能可靠地预言重复实验的分散，也就是精密度。

500 次的平均值与真值 9.81 相差 0.00012。平均值本身的不确定度约为 $0.00621/\sqrt{500}\approx0.00028$，差值比它还小，看不出系统偏差。在这组条件下，结果既精密又准确。

加入阻力后情况相反：标准误 0.08，偏差却是 $-5.08\,\mathrm{m\,s^{-2}}$，相当于六十多个标准误。结果精密，但不准确。“不理想相机”预设又是另一种情况：$\hat g=9.29\pm0.43$，偏差约为 1.2 个标准误，单次结果不够精密，这个偏差仍在它允许的范围内。

3.8 光电门与时钟分辨率

光电门不拍照，它记录遮光片挡住光束的时长 $\Delta t_{\mathrm{gate}}$，速度估计为遮光片长度除以这个时长。它测的是单个时刻附近的速度，正好可以独立检查相机拟合：由拟合出的 $\hat g$ 和 $v^2=2g(h-y)$，可以预言过门速度。

计时器只能把时间读到某个最小单位，这叫时钟分辨率。读数被舍入到这个单位的整数倍，舍入误差最多是它的一半。测量的时间间隔越短，这个误差占的比例越大。

“时钟分不清过门”预设把时钟分辨率设为 $0.05\,\mathrm s$。遮光时间只有 $5.83\,\mathrm{ms}$，舍入后变成零，光电门无法给出速度。相机拟合却完全不受影响：相机本来就每 $0.05\,\mathrm s$ 拍一帧，帧时刻恰好是时钟单位的整数倍，舍入不改变它们。

“不理想相机”预设的时钟分辨率是 $0.02\,\mathrm s$，释放高度 8 米，光电门在 4 米处。真实过门速度约 $8.86\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，遮光时间约 $11.3\,\mathrm{ms}$，被舍入成 $20\,\mathrm{ms}$，于是光电门报告 $5.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，偏低 44%。同一个时钟还把相机每帧的时刻舍入，最多差 $0.01\,\mathrm s$，这也进入了拟合误差。

经验规则是：时钟分辨率要比所测的时间间隔小得多。想让舍入造成的相对误差小于 1%，分辨率就要小于所测间隔的 2%。

3.9 选读：最小二乘的矩阵写法与标准误

本节需要矩阵乘法、转置和逆矩阵，以及 2.4 节的方差概念。跳过本节不影响后续章节。

把 $N$ 帧记录写成列向量 $\mathbf y$，参数写成 $\boldsymbol\beta=(h,v_0,g)^{\mathsf T}$。设计矩阵 $X$ 有 $N$ 行，第 $n$ 行是 $(1,\ t_n,\ -t_n^2/2)$。模型和残差平方和为

固定其他参数、只改变第 $j$ 个参数，$S$ 的斜率叫偏导数。最小值处三个偏导数都为零。对第 $j$ 个参数求偏导，得到 $-2\sum_n X_{nj}\bigl(y_n-(X\boldsymbol\beta)_n\bigr)=0$，三式合写成

这叫正规方程。它的含义是：最优拟合的残差与 $X$ 的每一列“正交”，即对应乘积之和为零。

标准误来自噪声怎样传到参数上。把 $\mathbf y=X\boldsymbol\beta+\mathbf e$ 代入，得到 $\hat{\boldsymbol\beta}-\boldsymbol\beta=(X^{\mathsf T}X)^{-1}X^{\mathsf T}\mathbf e$，参数误差是各帧噪声的加权和。若各帧噪声互不相关、平均为零、标准差同为 $\sigma$，用 2.4 节“平方相加”的规则，得到

实际的 $\sigma$ 未知，用残差估计：$s^2=S_{\min}/(N-3)$。除以 $N-3$ 而不是 $N$，是因为三个参数已经贴合掉了一部分噪声，残差系统性地偏小。于是 $\hat g$ 的标准误是 $s$ 乘以 $(X^{\mathsf T}X)^{-1}$ 中对应 $g$ 的对角元的平方根。

独立检查：地球落体塔的记录有 50 帧，$t_n=n/(20\,\mathrm{Hz})$，$\sigma=0.01\,\mathrm m$。直接计算这个矩阵，得到 $\hat g$ 的标准差应为 $0.00608\,\mathrm{m\,s^{-2}}$，与表 3.1 中 500 次重复的 0.00621 相符。

这个结果有前提。它要求模型正确，各帧误差互不相关且大小相同。模型漏掉阻力时，公式仍能算出重复实验的分散，却完全看不见偏差；误差彼此相关时，例如时钟舍入让相邻帧一起偏，公式也可能低估真实的不确定度。这就是 3.6 节要先看残差、再相信标准误的原因。

3.10 在自由落体 Lab 中检验

打开自由落体与重力测量 Lab。页面打开时已有一次完整记录，下方的数据行给出相机记录和“拟合残差 · 系统偏差留下形状”图。

预测，再比较。 选择“地球落体塔”。先用 3.4 节预测落地时刻、光电门速度和遮光时间，再与读数“完整记录时长”“光电门速度”“遮光片通过时间”比较。

重复下落。 点五次“采集新的一次落体”，每次记下“重力拟合与标准误”。算出五个 $\hat g$ 的平均值和标准差，与单次报告的标准误比较。五次的标准差会有相当大的起伏，这本身就说明为什么需要更多次重复。

让模型出错。 选择“阻力让拟合偏离”。操作前预测 $\hat g$ 会偏高还是偏低。查看残差图的形状，并把“光电门速度”与 3.4 节没有阻力时的预测比较，说明是哪一个假设失效了。

检查时钟。 选择“时钟分不清过门”，解释为什么光电门没有速度、相机拟合却没变。在高级区逐步减小“时钟分辨率”，找出光电门开始给出速度的分辨率，再看它在 $1\,\mathrm{ms}$ 时偏差有多大。

迁移到月球。 选择“月球落体塔”。它的 $g=1.62\,\mathrm{m\,s^{-2}}$，位置噪声为 $2\,\mathrm{mm}$。先预测落地时刻和相机帧数，再说明标准误为什么比地球小得多。

表 3.2 给出各预设在默认噪声样本下的结果，没有打开 Lab 的读者可以用它跟上推理。

3.11 习题

1. 在自由落体 Lab 中，哪些量是直接记录的，哪些是估计的？把相机帧时刻、高度、遮光时间、$\hat g$、$\hat h$、光电门速度分别归类。
2. 从 2 米高处以 $8\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 竖直向上抛出小球，取 $g=9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。求到达最高点的时刻、最大高度、落地时刻和落地速度。
3. 光电门装在释放点下方 1.2 米处，小球由静止释放，遮光片长 2 厘米。求遮光时间。若时钟分辨率是 $1\,\mathrm{ms}$，速度的相对误差最多可能是多少？
4. 有人用一条直线（匀速运动模型）拟合一次落体的高度记录。残差会呈现什么形状？这个形状说明缺了哪一项，它的符号是什么？
5. 两组学生测 $g$。甲组重复五次，结果为 $9.62\pm0.02\,\mathrm{m\,s^{-2}}$；乙组为 $9.9\pm0.3\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。哪一组更精密？哪一组与 9.81 相符？甲组的差别可能来自什么？
6. 承上题。如果甲组的相机比例假定得比真实值大 2%，拟合出的 $g$ 会偏多少？与甲组的结果比较。
7. 单次下落的标准误是 $0.0055\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。要让平均值的不确定度降到 $0.001\,\mathrm{m\,s^{-2}}$，大约需要多少次独立下落？这个估计依赖什么前提？
8. 迁移题。一辆小车从斜面上由静止释放，每隔 1 秒记录一次位置：0.00、0.31、1.18、2.72、4.80 米。用第 2 章的差分检验它是否近似匀加速运动，并估计加速度。如果相邻的二次差分越来越小，你会怀疑什么？
9. 选读，需要 3.9 节。用矩阵公式说明：只用一个常数拟合 $N$ 个噪声标准差为 $\sigma$ 的数据时，平均值的标准差是 $\sigma/\sqrt N$。

3.12 答案与解释

接下来：换一个观察者

第一单元到这里结束：我们学会了描述运动、从相机记录估计运动，并用一个模型检验记录。所有描述都来自地面上一台静止的相机。第 4 章（编写中）将问：换一个正在运动的观察者，位置、速度和加速度中哪些会变，哪些不变？

图表与数据说明

• 匀加速运动和自由落体的公式对照 OpenStax《University Physics》第一卷第 3.4、3.5 节；最小二乘与残差检查对照 NIST 工程统计手册第 4.1.4.1 和 4.4.4 节；精密度与准确度采用 VIM 第 2.15、2.13 条的定义。
• 表 3.1、表 3.2 和图 3.1 由自由落体 Lab 的模型代码计算：质点、竖直向上为正、四阶 Runge–Kutta 数值求解、步长 $0.01\,\mathrm s$，相机噪声为高斯分布，默认噪声样本 431。“阻力让拟合偏离”在地球落体塔基础上只把线性空气阻尼设为 $0.5\,\mathrm{s^{-1}}$；“时钟分不清过门”只把时钟分辨率设为 $0.05\,\mathrm s$。
• 阻力情形的拟合另用线性阻力运动的解析解独立核对：无噪声时拟合得 $g\approx4.72\,\mathrm{m\,s^{-2}}$、残差均方根约 $231\,\mathrm{mm}$，与 Lab 的带噪声结果一致。标准误的独立核对见 3.9 节。
• 表 3.2 中光电门速度在地球、月球和向上抛出时与真实过门速度相同到表中位数；“不理想相机”的 5.00 是时钟舍入后的读数，真实值约为 8.86。