FR18 · 温度牵动液面

Marangoni 温差表面流

一小块热点为什么能把薄膜里的液体推开？ 温度升高通常会降低表面张力。较冷的液面向外拉动液体，热点上方的薄膜随之变薄。液面弯曲后又出现压差，在膜内驱动相反方向的流动。

沿薄膜拖动热源或冷源。看液面怎样向表面张力更强的一侧流，薄膜怎样变形，压差又怎样带来回流。

经过时间 $3.00\,\mathrm{s}$

最薄处膜厚 $40.0\,\mathrm{\mu m}$

表面最大流速 $0.0600\,\mathrm{mm\,s^{-1}}$

保留液体体积 $100\,\%$

牵动液面

局部温差

6

\Delta T\;(\mathrm K)

动力黏度

0.1

\mu\;(\mathrm{Pa\,s})

热源位置

4

x_H\;(\mathrm{mm})

沿基底拖动发光热源。把温差调成负值，就能让液体聚拢过来。

热点上方的液膜正在变薄，液体向两侧流。

薄膜模型与适用范围

热源宽度

0.800

w_H\;(\mathrm{mm})

周期薄膜长 8 毫米，初始厚度为 50 微米。给定温度场同时决定液面颜色和表面剪切应力。曲率压强使用参考张力，对应温差引起张力小幅变化的首阶近似。

忽略热传输、重力、蒸发和表面活性剂。膜厚低于 10 微米，或真实坡度超过 0.22 时停止积分。

接着读动态界面课程

Bowen et al. (2005), Eq. (2.1)

模型假设

模型求解周期基底上一维、小坡度的牛顿液膜。温度由外部指定，表面张力随温度线性降低；小幅张力变化驱动剪切，曲率压强使用参考张力。忽略热传输、蒸发、表面活性剂、重力和接触线运动。膜太薄或坡度过大前停止计算。剖面中的高度已放大。

膜厚留下热源走过的痕迹

青色：保存的膜厚。琥珀色：指定温度。时间曲线来自上方同一片演化薄膜，均为模拟数据。

沿薄膜的厚度与温度

h/H,\quad (T-T_0)/(8\,\mathrm K)

最薄处怎样随时间变化

h_{\min}/H

表面做功与黏性耗散

关闭温差驱动后，毛细表面能逐渐下降。加热会输入表面功，受驱动时表面能可以上升。导出文件包含能量、做功率、耗散率和保存的全部高度样本。

\frac{d}{dt}\int\frac{h_x^2}{2}\,dx=\mathcal P_{\mathrm{surface}}-\mathcal D

先抓重点

核心问题: 一小块热点为什么能把薄膜里的液体推开？
一句话直觉: 液面朝表面张力更强的一侧流，随后的变形又带来曲率压差。

核心数学模型

温度决定沿液面的剪切应力

\gamma(T)=\gamma_0+\gamma_T(T-T_0),\qquad \mu\,\partial_z u\big|_{z=h}=\partial_x\gamma,\qquad \gamma_T<0

横坐标沿水平基底，竖坐标向上。表面张力用 gamma 表示，动力黏度用 mu 表示，水平速度为 u。温度导数为负，表示冷侧拉得更强。

压差与表面剪切一起决定通量

p=-\gamma_0\partial_{xx}h,\qquad q=-\frac{h^3}{3\mu}\partial_xp+\frac{h^2}{2\mu}\partial_x\gamma,\qquad \partial_t h=-\partial_xq

膜厚为 h，q 是单位宽度上的体积通量。第一项来自曲率压差，第二项让液体流向表面张力较大处。两端周期相接，液体总体积保持不变。

固体表面速度为零

u(x,z)=\frac{\partial_xp}{2\mu}(z^2-2hz)+\frac{\partial_x\gamma}{\mu}z,\qquad 0\le z\le h

把速度沿厚度积分，就得到前面的通量。固体壁面无滑移，速度为零；液面处速度对高度的导数，恰好提供指定的表面剪切应力。

常见难点

表层和内部可以朝不同方向流

容易误解表面往外流，下面每一层也都应该往外流。

正确理解薄膜一变形，就会出现压差。压差贡献一条抛物线速度分布，可以抵消表面驱动，让薄膜下部出现回流。

动手实验

01
先看热点排开液体
选“热点排开液体”，观察发光的表面流线。
你会看到： 表层离开热点，中心膜厚下降。液体没有消失，总体积保持不变。
02
把热源换成冷源
选“冷点聚拢液体”，比较液面流动方向。
你会看到： 温差反号后，表面剪切也反号，液体聚到冷点下方。
03
移动热源
把发光热源拖到一侧，再暂停比较表层和薄膜下部。
你会看到： 温度梯度一变，速度就响应；膜厚还要经过一段黏性流动时间，才逐渐改变。

Marangoni 温差表面流

膜厚留下热源走过的痕迹

温差怎样牵动液面

核心数学模型

温度决定沿液面的剪切应力

压差与表面剪切一起决定通量

固体表面速度为零

常见难点

表层和内部可以朝不同方向流

动手实验

先看热点排开液体

把热源换成冷源

移动热源

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