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Sandbox Physics
动态界面

L3 · 第 5 章

温差怎样让液面流动

Sandbox Physics ·

加热薄膜上的一小块地方，液体通常会从那里向外流。热点的表面张力较低，周围较冷的液面拉得更强。液体沿表面离开，膜厚随之下降；弯曲的液面又建立压差，把一部分液体推回来。

冷的一侧把液面拉过去

设想在一条液膜上放一支很窄的加热棒。棒下方先暖起来，远处仍凉。干净液面的表面张力通常随温度升高而降低。热点两侧的拉力不再相等，表层便从热处向冷处流。这种由表面张力梯度驱动的流动叫 Marangoni 流。

这里取基底水平，横坐标 xx 向右，高度坐标 zz 向上；基底为 z=0z=0，液面为 z=h(x,t)z=h(x,t)。温度为 TT，表面张力为 γ\gamma，动力黏度为 μ\mu，与前面章节的 η\eta 表示同一个量。温差不大时，用一个负斜率的直线近似表面张力随温度的变化。

γ(T)=γ0+γT(T−T0),γx=γTTx,γT<0\gamma(T)=\gamma_0+\gamma_T(T-T_0),\qquad \gamma_x=\gamma_TT_x,\qquad \gamma_T<0
向右越来越热时，温度梯度为正，表面张力梯度为负，表层受到向左的拉力。

来源：Bowen · John W. M. Bush

表面拉力改变速度的边界条件

上一章的自由表面没有外加切向应力。现在液面要拉动液体，黏性剪切必须在液面处接住这股力。固体基底仍然无滑移，压力沿膜厚几乎不变。于是，同一个水平动量方程配上了新的上边界条件。

速度 uu 的单位是米每秒，压强 pp 是帕，表面张力是牛顿每米。表面张力沿位置的导数因此也是帕，和黏性剪切应力单位一致。惯性很小、坡度很小，是把运动简化成下面方程的前提。

μuzz=px,u(0)=0,μuz(h)=γx\mu u_{zz}=p_x,\qquad u(0)=0,\qquad \mu u_z(h)=\gamma_x
下边界钉住速度，上边界指定速度沿高度改变得多快。
uz=pxμ(z−h)+γxμ,u=px2μ(z2−2hz)+γxμzu_z=\frac{p_x}{\mu}(z-h)+\frac{\gamma_x}{\mu},\qquad u=\frac{p_x}{2\mu}(z^2-2hz)+\frac{\gamma_x}{\mu}z
先积分一次，用液面剪切确定常数；再积分一次，用壁面速度为零确定另一个常数。压差贡献抛物线，表面拉力贡献直线。

液体流走以后，膜厚才会改变

速度并不直接给出薄膜涨了多少。要先把整层速度沿厚度相加，得到单位宽度上的体积通量。某一小段流出的液体比流入的多，这一段才会变薄。这个先速度、再通量、最后高度的顺序，把温度场连到了界面形状。

在弱温差变化的首阶近似下，曲率压强采用参考张力 γ0\gamma_0，温度变化单独进入表面剪切。实验台使用长 8 mm8\,\mathrm{mm}、起初厚 50 μm50\,\mathrm{\mu m} 的周期液膜，温度场由外部指定。温度怎样被流动搬运、怎样向基底散热，需要另外求解热方程。

q=∫0hu dz=−h33μpx+h22μγx,p=−γ0hxx,ht=−qxq=\int_0^h u\,dz=-\frac{h^3}{3\mu}p_x+\frac{h^2}{2\mu}\gamma_x,\qquad p=-\gamma_0h_{xx},\qquad h_t=-q_x
周期两端的通量相等，积分后的总体积就不变。表面颜色、表面剪切和通量都使用同一个温度场。

来源：Bowen

算一段刚开始流动的薄膜

取膜厚 h=50 μmh=50\,\mathrm{\mu m}、黏度 μ=0.10 Pa s\mu=0.10\,\mathrm{Pa\,s}、表面张力温度导数 γT=−6.0×10−5 N m−1K−1\gamma_T=-6.0\times10^{-5}\,\mathrm{N\,m^{-1}K^{-1}}。一段 2.0 mm2.0\,\mathrm{mm} 的薄膜从左向右升温 4.0 K4.0\,\mathrm K。刚开始液面平直，曲率压差为零。先把温差除以距离，再乘张力的温度导数，就得到表面应力。

表层向左流，靠近壁面越慢。平均速度只有表面速度的一半；把平均速度再乘膜厚，便得到通量。液面开始弯曲后，压差项也会参与，实际速度由两项共同决定。

Tx=2.0×103 K m−1,γx=−0.120 PaT_x=2.0\times10^3\,\mathrm{K\,m^{-1}},\qquad \gamma_x=-0.120\,\mathrm{Pa}
升温方向向右，表面拉力方向向左。
u(h)=γxhμ=−0.0600 mm s−1,uˉ=−0.0300 mm s−1,q=−1.50×10−9 m2 s−1u(h)=\frac{\gamma_xh}{\mu}=-0.0600\,\mathrm{mm\,s^{-1}},\quad \bar u=-0.0300\,\mathrm{mm\,s^{-1}},\quad q=-1.50\times10^{-9}\,\mathrm{m^2\,s^{-1}}
这些数值描述初始平膜的一小段。热点两侧温度梯度相反，表面会朝两边离开热点。

表面还在流，下面已经回来了

持续的表面流会堆出液面高低差。曲率压强随之改变，可以推动下层反向流动。想看清这件事，考虑一个局部通量恰好为零的时刻：表面仍受拉，整层却没有净流量。此时压力项必须恰好抵消表面剪切项的积分。

把零通量条件代回速度分布，速度在 z=2h/3z=2h/3 处换向。上部三分之一沿表面拉力流，下部沿相反方向流。这是局部回流的例子，不能直接当作整个受热周期液膜的最终平衡。

q=0 ⟹ px=3γx2h,u(z)=γxμ(3z24h−z2)q=0\ \Longrightarrow\ p_x=\frac{3\gamma_x}{2h},\qquad u(z)=\frac{\gamma_x}{\mu}\left(\frac{3z^2}{4h}-\frac z2\right)
表面拉力带动上层液体，曲率压差可以推动下层回流。

先预测，再动手解释

预测热点与冷点的流向

  1. 先选“热点排开液体”，在纸上画出热点两侧的表面流向，再与流线和最小膜厚曲线比较。
  2. 只把温差换成负值。先预测中心膜厚会上升还是下降，再选“冷点聚拢液体”检查。
  3. 拖动热源到一侧，观察速度马上响应、膜厚随后改变。暂停后比较表层和下层；把黏度调大，说明为什么形状变化变慢。

练习与解释性答案

  1. 保持温度梯度和初始平膜不变，黏度增加到原来的三倍，表面速度和通量怎样变？

    展开解释

    速度和通量都与黏度成反比，变为原来的三分之一。液体在同一时刻还来不及形成原来那么大的膜厚变化。

  2. 同样温度梯度下，把初始平膜厚度增加一倍，表面速度和通量分别增加几倍？

    展开解释

    初始没有曲率压差，表面速度与厚度成正比，增加两倍；通量与厚度平方成正比，增加四倍。后续若形成显著压差，必须同时计算压力项。

  3. 沿用例题参数，局部通量为零时需要多大的压强梯度？表面速度又是多少？

    展开解释

    零通量要求 px=−3.60×103 Pa m−1p_x=-3.60\times10^3\,\mathrm{Pa\,m^{-1}}。代回速度式得到表面速度 −0.0150 mm s−1-0.0150\,\mathrm{mm\,s^{-1}}，是初始无压差速度的四分之一。下部回流恰好抵消上部流量。

来源与计算范围

例题与示意图由课程编写。论文比较复算指定解析关系；阅读指南另行解释实验照片与分子模拟各自回答的问题。

  1. John W. M. Bush, Surface Tension Module, MIT lecture notes

    第一讲第 1.1–1.3 节：界面能、法向与切向应力、毛细标度。教学来源；本课程例题另行计算。

  2. Bowen, Sur, Bertozzi & Behringer, Nonlinear dynamics of two-dimensional undercompressive shocks, Physica D 209, 36–48 (2005)

    第二节式 (2.1) 给出热应力、重力与毛细通量。浏览器模型取水平基底、外加温度场，保留热应力与毛细项。论文中的斜面前沿与实验照片不在复现范围。

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