液滴边缘怎样越过固体表面

越靠近边缘，速度改变得越急

接触线是固体、液体和气体相接的那条线。若它以有限速度越过静止固体，液滴内部的液体就必须从固体上的零速度，过渡到跟着边缘运动的流动。理想锐角楔形里，可供完成这个过渡的距离随接近边缘而缩小。

设离边缘距离为 $r$ ，边缘速度为 $U$ 。速度梯度的量级随 $U/r$ 增大，黏性耗散密度随梯度平方增长。楔形截面的面积元又正比于 $r\,\mathrm dr$ ，合起来给出对数发散。把最小距离直接取零，就得到无限耗散。Huh 和 Scriven 在 1971 年的黏性流动分析中指出了这个困难。

一个可用的动力学模型必须说明近处发生什么。让固体附近有有限滑移是一种选择；让液滴前方始终有前驱薄层是另一种。本路线使用后一种，液体底部仍取无滑移。

\mathcal D\sim\eta U^2\int_{r_{\min}}^R\frac{\mathrm dr}{r}=\eta U^2\log\frac R{r_{\min}}

这是解释发散的尺度估计，省略了依赖楔角的系数。微观截断长度不能凭空删去。

来源：Huh & Scriven

给厚度一个有最低点的势能

用 $f(h)$ 表示单位基底面积的局部润湿能。远程吸引降低薄膜的势能，极薄时的短程排斥阻止厚度继续降到零。下面选用的两个幂次让势能在 $h=b$ 有唯一最低点； $b$ 就是前驱膜厚度。

对势能求导，得到改变厚度所需的局部能量变化。分离压力采用 $\Pi=-fprime(h)$ 的约定。它与毛细压强共同决定液体向哪边流；前驱薄层是在同一个高度方程中演化的。

f(h)=-\frac A{2h^2}+\frac{A b^3}{5h^5},\qquad \Pi(h)=-\frac A{h^3}+\frac{A b^3}{h^6}

这里先把高度与水平距离理解为相同长度单位；能量、张力与势函数的量纲彼此相容。浏览器的尺度变换在例题中单独说明。

f'(b)=0,\qquad f''(b)=\frac{3A}{b^4}>0,\qquad f(b)=-\frac{3A}{10b^2}

前两式说明这层薄液体是局部稳定的。最后一式将决定大液滴边缘的平衡坡度。

来源：U. Thiele

从过渡区积分到平衡接触角

先看一个足够大、曲率压强可以忽略的静止液滴边缘。薄膜一侧的高度趋于 $b$ ，坡度趋于零。平衡要求 $-\gamma h_{xx}+fprime(h)=0$ 。两边乘以坡度，空间上的二阶方程就变成两个完整导数，可以直接积分。

积分常数由前驱膜一侧确定。走到 $h\gg b$ 、润湿势接近零的位置，得到外侧楔形的坡度。用小角度近似，坡度就是以弧度计的平衡接触角。有限液滴存在曲率压强时，需要保留压强项和相应薄层高度；下面的式子是大液滴、局部平楔极限。

-\gamma h_{xx}h_x+f'(h)h_x=0\quad\Longrightarrow\quad \frac\gamma2h_x^2=f(h)-f(b)

前驱膜处坡度为零，固定了积分常数。

\theta_{\mathrm e}^2\simeq-\frac{2f(b)}\gamma=\frac{3A}{5\gamma b^2}

它把润湿能的深度与表面张力联系起来。使用前必须检查角度确实足够小。

例题里的一点三九，为什么不是八十度

薄膜实验台用初始膜厚作为竖直单位，用另一长度作为水平单位。它们的比值是 $\varepsilon=0.05$ 。取 $A=0.2$ 、 $b=0.25$ 、 $\gamma=1$ ，代入相同形式的无量纲势，求得模型坐标里的平衡坡度约为 $1.39$ 。

真实坡度还要乘长宽比。它约为 $0.0693$ ，对应小角度约 $3.97^\circ$ 。直接把模型坡度当作弧度，会把一个浅浅的边缘误读成很陡的液滴。放大竖直方向的示意图尤其容易造成这种误会。

接着把前驱膜厚度翻倍，想让外侧平衡角不变，就必须让 $A/\gamma$ 增为四倍。这样比较时，宏观润湿角近似相同，变化主要来自接触区尺度及其动力学。但平膜的增长谱仍会改变，因为它取决于平均厚度处的势能曲率。

\theta_{\mathrm e}\simeq\varepsilon\sqrt{\frac{3A}{5\gamma b^2}}=0.05\sqrt{1.92}\simeq0.0693\ \mathrm{rad}

这是浏览器无量纲坐标下的角度换算。竖直放大只改变显示，不改变物理角度。

边缘可以向前走，自由能仍然下降

整个薄膜的能量由两部分组成：液面弯曲的代价和局部润湿能。对能量作变分，得到化学势 $\mu=-\gamma h_{xx}+fprime(h)$ 。将守恒高度方程代入能量的时间导数，再分部积分，周期端点项相消，剩下一个负的平方积分。

这说明一部分液面起伏变大时，总自由能仍然可以降低。液体减少润湿能的收益，可以支付曲率能的增加。体积则由另一个端点相消关系保持不变。两项检查各有用处：能量降得很漂亮，也不能替代体积守恒。

这里的“边缘”是厚液体与前驱层之间的可见过渡。追踪这个过渡，可以讨论铺展与回缩；要预言真实材料在哪一个分子处断开，还需要更小尺度的物理。

\frac{\mathrm dF}{\mathrm dt}=\int\mu h_t\,\mathrm dx=\int\mu\,\partial_x(h^3\mu_x)\,\mathrm dx=-\int h^3\mu_x^2\,\mathrm dx\le0

无量纲流动率采用厚度三次方；没有蒸发、外加表面应力或体积源。

\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int h\,\mathrm dx=[h^3\mu_x]_0^L=0

周期端点的通量相同。封闭、无通量端点也给出同样结论。

来源：U. Thiele

液滴边缘怎样越过固体表面

越靠近边缘，速度改变得越急

给厚度一个有最低点的势能

从过渡区积分到平衡接触角

例题里的一点三九，为什么不是八十度

边缘可以向前走，自由能仍然下降

先预测，再动手解释

分清薄层尺度与平膜失稳

练习与解释性答案

来源与计算范围