噪声里哪一种波长会先长大

基底给薄膜增加一项高度相关的能量

把每单位基底面积的润湿能记为 $f(h)$ 。毛细能惩罚坡度，润湿能偏爱某些膜厚。对总能量改变一点高度，得到驱动输运的广义压强 $\mu$ 。本章用这个符号表示能量对高度的变分，黏度仍写成 $\eta$ 。

如果一小块区域变薄能降低局部能量，它会把液体排向旁边。曲率项则抵抗突然变尖的轮廓。两项都进入同一个驱动压强，因而无需给“失稳”和“平整”分别指定运动规则。

F[h]=\int\left[\frac\gamma2 h_x^2+f(h)\right]\mathrm dx,\qquad \mu=-\gamma h_{xx}+f'(h)

这里保留小坡度界面能。分离压力的符号约定是负的润湿能导数。

h_t=\partial_x\!\left[M(h)\partial_x\mu\right],\qquad M(h)=\frac{h^3}{3\eta},\qquad \Pi(h)=-f'(h)

流向降低能量的方向；正的迁移率决定流动快慢。

令平膜厚度为 $h_0$ ，叠加振幅很小的余弦波。振幅若按指数增长，指数前的系数 $\sigma$ 就是增长率。正值表示增长，负值表示衰减。将这个形式代入高度方程，只保留振幅的一次项。

平膜的广义压强本来没有空间梯度，所以迁移率对高度的变化在这一阶不起作用。把 $M$ 换成 $M_0=M(h_0)$ ，曲率贡献波数四次方，润湿能贡献波数平方。增长率随波数变化的曲线叫色散关系。

\begin{gathered}h=h_0+a_0e^{\sigma t}\cos(kx)\\\sigma(k)=-M_0k^2\left[\gamma k^2+f''(h_0)\right]\end{gathered}

线性预测只适用于振幅远小于平均膜厚的阶段。

\begin{gathered}f''(h_0)<0:\quad k_c=\sqrt{\frac{-f''(h_0)}\gamma}\\k_*=\frac{k_c}{\sqrt2}\\\sigma_*=\frac{M_0[f''(h_0)]^2}{4\gamma}\end{gathered}

小于截止波数的非零模式增长；最快模式在零波数与截止之间。

解析增长率

\widehat\sigma=K^2(1-K^2)

K_*=1/\sqrt2

K_c=1

按 Thiele（2010）图 1 的解析式重新计算的示意图。横坐标为波数除以失稳截止波数；图中没有实验数据点。

用无量纲量取 $M_0=1$ 、 $\gamma=1$ 、 $fprimeprime(h_0)=-1$ 。连续空间给出 $k_*=1/\sqrt2$ 和 $\sigma_*=1/4$ 。但周期长度若为 $L=20$ ，允许波数只有 $k_n=2\pi n/L$ 。

分别试 $n=1,2,3$ ，增长率约为 $0.0890,0.239,0.0992$ 。第二个模式增长最快，间距约为 $L/2=10$ 。无限域的最优波长为 $2\pi\sqrt2\simeq8.89$ ，有限容器里只能从允许的模式中选出最快者。

随机初态同时含有许多波长，每个模式又有不同初始振幅。最快增长不保证最早肉眼可见：一个起点更大的邻近模式，也可能暂时领先。要检验理论，应该测指数增长的斜率。

在每个保存时刻，把轮廓投影到同一波数的正弦与余弦上，二者平方和开根得到振幅。这样即使波峰位置平移，振幅也不会变。再用 $\log a_n(t)$ 对时间作图，小振幅时的直线斜率就是测得增长率。

只用仍然远高于舍入噪声、又没有进入强非线性的记录段。后期模式彼此交换能量，液滴还会合并或长大；那时的一条直线拟合已不再检验刚才的线性式。保存原始高度、时间、种子、参数与模型版本，别人才能重新选取拟合区间。

a_n=2\left|\frac1N\sum_{j=0}^{N-1}(h_j-\bar h)e^{-2\pi i n j/N}\right|,\qquad \widehat\sigma_n=\frac{\log a_n(t_2)-\log a_n(t_1)}{t_2-t_1}

归一化让单一余弦的测得振幅等于它的峰值振幅；零模式单独用于检查质量。