把一层液体的运动收进高度方程

先把薄和慢说清楚

沿基底向右取 $x$ ，从固体向上取 $z$ ，液面高度是 $h(x,t)$ 。典型膜厚 $H$ 远小于横向变化长度 $L$ ，坡度也小。偏导数 $h_t$ 指固定位置观察高度随时间变化， $h_x$ 指固定时间沿空间看坡度。

液体中的黏性剪切主要来自上下不同层之间的速度差。薄且流动缓慢时，横向压强梯度由厚度方向的黏性力平衡，压强在同一截面里近似不随高度变化。这个约化叫润滑近似；“润滑”指几何尺度关系，液体不必是润滑油。

\varepsilon=\frac HL\ll1,\qquad 0=-p_x+\eta u_{zz}

黏度为正；速度向右为正。惯性小、基底水平、无体力是这里的额外假设。

来源：Oron · Bowen

固体不动并施加无滑移条件，故 $u(0)=0$ 。若液面张力均匀，气体剪切可忽略，液面处没有切向牵引，故 $u_z(h)=0$ 。从黏性平衡积分两次，两个积分常数恰好由这两个条件确定。

再沿 $z$ 从基底积到液面，得到单位横向宽度的体积通量 $q$ ，单位是 $\mathrm{m^2\,s^{-1}}$ 。当压强向右升高时，通量为负，液体向左流。这里的负号对应液体从高压往低压走。

u(z)=\frac{p_x}{2\eta}(z^2-2hz)

速度在固体表面为零，在自由表面具有零剪切率。

q=\int_0^h u\,\mathrm dz=-\frac{h^3}{3\eta}p_x

三次方来自速度的厚度平方与积分多出的一个厚度。

取基底上一个很窄的小区间。单位宽度液体体积等于高度乘区间长度。左端通量流入，右端通量流出，两者的差决定区间里的体积变化。把区间缩小，就得到局部连续性方程。

对周期边界积分，左右两端的通量相同，整体体积保持不变。数值计算也应如此：相邻两个格子必须共用同一个面通量。分别在每个格子里“修正高度”，很容易让总量悄悄改变。

h_t+q_x=0,\qquad \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int_0^L h\,\mathrm dx=q(0)-q(L)=0

周期边界或两端都无通量时，体积守恒；蒸发和注液需要另外加入源项。

对小坡度、单个自由界面，毛细压强近似 $p=-\gamma h_{xx}$ 。一个局部凸起的二阶导数为负，它的压强高，液体向两侧流。将曲率压强代入通量，再代入连续性方程，得到四阶高度方程。

完整例题： $h=H+a\cos(kx)$ ，且 $a\ll H$ 。在线性近似中，把通量系数里的高度换成 $H$ 。每求两次空间导数带来一个波数平方，最后振幅按指数衰减。波数翻倍，衰减率增为十六倍；短小皱褶消退得更快。

h_t=-\partial_x\!\left(\frac{\gamma h^3}{3\eta}h_{xxx}\right)

无重力、无分离压力、无表面张力梯度的毛细薄膜方程。

a(t)=a(0)e^{-t/\tau},\qquad \tau^{-1}=\frac{\gamma H^3k^4}{3\eta}

这是一层黏性薄膜的过阻尼平整过程。要描述深水中会振荡的毛细波，模型需要保留惯性。

练习与解释性答案

保持压强梯度和黏度相同，膜厚翻倍，通量增为几倍？

展开解释

八倍。更厚的液体既允许更快的速度，又增加输运截面积；两者合起来给出厚度三次方。

黏度翻倍以后，毛细平整的衰减时间怎样变？

展开解释

时间翻倍。驱动力相同，黏性阻力更强，通量减半，高度变化也慢一倍。

周期系统的平均膜厚持续下降，应先怀疑哪一项？

展开解释

先检查通量离散、时间推进和边界处理。这里没有蒸发，铺开只会重新分配液体；平均膜厚应当保持不变。

来源与计算范围

例题与示意图由课程编写。论文比较复算指定解析关系；阅读指南另行解释实验照片与分子模拟各自回答的问题。