Q022 · 避免交叉 / 干涉

Landau–Zener 扫掠与双程干涉

慢慢扫过避免交叉，两能级系统会换到另一个态吗？ 会，只要扫得够慢。态一直待在较低的能量分支上，穿过避免交叉时，这条分支从一个基态变成了另一个。扫得太快，态还留在原来的基态。再穿越一次，就能看到干涉。

让双能级系统扫过避免交叉，分别在能量基和固定基里看它的量子态，再原路扫回来。改变两次扫掠之间的等待时间，同一个有限时间演化就会给出干涉。测量许多次独立制备的试验，把计数和模型对照。

模型最终高能态概率 $\text{—}$

完整协议时间 $\text{—}$

做一个预测

两条能级交换位置时，慢慢扫过的量子态会跟着过去吗？

先比较慢扫和快扫，看彩色布居怎样变化，再测量。扫过去再扫回来，两种演化路径就会干涉。

先预测，再对照并收集证据。

预览时间（每次测量都会跑完整个协议）

等待后返回，再次穿过交叉初态扫掠速度

v

1

最小能隙

\Delta

1

往返之间等待

t_w

0

单程时扫描的是扫速，往返时扫描的是等待时间。改动正在扫描的量，记录会保留；改动其他演化条件，记录会清空。单程时等待时间不起作用。

模型细节与采样

端点失谐幅值

A

8

固定基退相干率

\gamma

0

每设置试次数

N

400

可复现采样种子

s

1984

能量用选定的尺度作单位，时间用对应角频率的倒数作单位，所有数值都无量纲。采样可以复现，最多 30,000 次。

模型是无量纲的双能级 Hamiltonian，在有限的起点和终点之间扫掠，可以加入固定基下的 Markov 退相干。密度矩阵用数值方法演化，包括往返两次扫掠和中间的等待。无限长扫掠的指数公式只作单独参考，而且只适用于从低能态出发、没有噪声的单程扫掠。

记录的证据与模型局限

独立模拟试次

统计量子态最后落在高能级的次数

蓝点和逐点 95% Wilson 区间来自记录的试次，灰线是有限时间模型。这些区间不是同时置信带；看着数据决定何时停止时，它们也不再有保证。预览和回放不会增加试次。

当前设置：比例 / 95% 范围

\text{—}

适用时的无限扫掠参考

\text{—}

演化步数 / 记录试次

\text{—}

端点有限、初态选择和退相干，都可能让无限扫掠参考不再适用。往返协议连同中间的等待都完整演化。即使预览显示的是固定基，探测器测量的仍是最终能量基。

先抓重点

核心问题: 一直留在低能态，是不是就一直处在同一个固定基态？
一句话直觉: 绝热地跟着能级走的量子态，固定基成分可以互换。第二次穿越能读出两次穿越之间积累的相对相位。

核心数学模型

Hamiltonian 与单位

\frac{H}{E_0}=\frac{\Delta\sigma_x+\epsilon(\tau)\sigma_z}{2},\qquad \tau=E_0t/\hbar

能量以选定的能量尺度为单位，时间以对应的逆角频率为单位。固定零态的 Pauli-z 本征值为正。耦合和失谐的符号都由这个式子定下来。

能量态与有限扫掠

E_\pm/E_0=\pm\tfrac12\sqrt{\Delta^2+\epsilon^2},\qquad \epsilon(\tau)=-A+v\tau

正向扫掠停在正失谐端点。往返协议在那里等一段时间，再以同样的速度扫回去。初始的低能态或高能态，按实际的有限起点来定义。

最终探测器测什么

P_+=\frac{1+\boldsymbol r\cdot\boldsymbol n_f}{2},\qquad P_0=\frac{1+r_z}{2}

最终探测器投影到高能本征态。蓝色的固定零态布居是另一个可观测量。两条曲线都不是粒子的路径。

无限长扫掠的参考公式

P_{\mathrm{LZ}}=\exp\!\left(-\frac{\pi\Delta^2}{2v}\right)

这条公式假定线性扫掠从负无穷一直到正无穷，从低能态出发，没有退相干。有限时间的轨迹和往返条纹都不是用它算的。

退相干模型

\dot\rho=-i[H/E_0,\rho]+\frac{\gamma}{2}(\sigma_z\rho\sigma_z-\rho)

Markov 纯退相干在固定基下起作用，扫掠和等待期间一直存在。每个数值步先做精确的半步退相干，再做中点幺正步，最后再做半步退相干。不考虑弛豫、浴频谱和材料标定。

从计数到比例

\widehat P_+(s)=\frac{n_+(s)}{N(s)}

每个结果都来自一次新的制备，并走完该扫描设置下的完整脉冲。每个点的 Wilson 区间描述这个模型下的 Bernoulli 不确定性；这些区间连起来，并不是整条扫描的联合置信带。

常见难点

把两种基搞混

容易误解扫得慢，量子态就不会变。

正确理解量子态一直是同一个能量本征态，但 Hamiltonian 在变，这个本征态的固定基成分也跟着变。

两次穿越不是两次抛硬币

容易误解两次穿越就是两次独立抛硬币，概率直接相乘。

正确理解两个振幅保持相干，相对相位一直保留着。模拟在整个协议中都带着这种相干性。

公式只是参考

容易误解指数公式应该和每个有限脉冲都完全吻合。

正确理解公式对端点、初态和噪声的假设都和实际设置不同。灰色的有限时间曲线用的是实际设定的演化。

动手实验

01
慢慢跟随
选择慢扫，回放到终点，看两条布居曲线。
你会看到： 高能态布居一直很小，固定基成分却互换了。
02
快速穿过
选择快扫，再采集一组不同扫速的数据。
你会看到： 扫得越快，量子态越多地保留原来的固定基成分，最后就落在高能态。
03
返回并干涉
选择往返一次，扫描等待时间，再拖动等待滑块。
你会看到： 等待时间一变，第二次穿越前积累的相位就变，最终计数随之振荡。
04
检查适用范围
增大退相干或拉近端点后重测，导出原始记录。
你会看到： 有限时间的结果可能偏离无限扫掠公式；噪声会改变演化本身。