KITAEV 链 / 局域能谱扫描

藏在超导链两端的零模

超导链体内有能隙，为什么两端会出现零能态？ 因为这条链处在拓扑相。可以把每个格点上的电子拆成两个 Majorana 半粒子，跃迁和配对把相邻格点的半粒子两两配好，两端就各剩一个落单，能量为零，体内的能隙不受影响。化学势超过两倍跃迁强度时，能隙闭合，链变成普通超导体，端点零模也就没了。

沿超导链移动能谱探针，在两端找到接近零能量的谱权重。把体能隙关上，端点信号随之消失。再看有限长链的真实本征能级，采集一组理想的局域能量记录。

模型是理想的无自旋 p 波 Kitaev 链，两端开放，配对给定。单凭一个局域零能峰，不能断定真实材料里有 Majorana 模式。这里不模拟编织、量子比特操作、无序和相互作用，也不模拟实验鉴定。能谱按标明的 Lorentz 线宽展宽。

一根量子链的能谱肖像

最小激发能量

0

探针位于金色标记

0

青色 · 电子珊瑚色 · 空穴高度 · 局域谱密度

两条波带对应同一组物理格点，分开仅便于阅读。高度为选定能量下的线性谱密度，增益固定。拖动下方探针条扫描。

移动探针

j=1

0

01 / 位置与能量

找到藏在端点的谱权重。

电子谱密度：横向为位置，能量自底部 −3.5 到顶部 3.5。拖动十字线，同时选择探针和能量。固定平方根色标，范围为每单位跃迁能量 0 到 3。

暗 0 → 亮 3 · 下方曲线使用线性值

02 / 局部观察

端点和中间，讲述不同的故事。

青线为探针处电子谱，灰色虚线为中间格点，金线为选定能量。Lorentz 半宽为 0.06，尾部延伸到显示窗口之外。

$E/J\ \longrightarrow\quad J\rho_j(E)$

03 / 有限链

始终显示实际能级。

每个点都是有限链 BdG 本征值，金色为最接近零的两个，灰色背景为无限链体能隙。有限链激发能不是多体宇称测量。

$n\ \longrightarrow\quad E_n/J$

04 / 独立的体参考

关闭能隙，相就变了。

无限均匀链的正负解析能带。这是参考，不是局域记录重建的结果。

$k\ \longrightarrow\quad E/J$

从模型抽样，生成记录

采集一份局域能谱。

0 / 8000

按探针处归一化的电子谱做理想抽样，再加上 Lorentz 能量分辨率。这些是模拟的能量记录，不是实测的隧穿电流。选定的显示能量不会筛掉样本。种子固定，结果可复现；CSV 保留全部尾部。

记录中近零能比例

\text{—}

95% Wilson 区间 · 采样噪声

\text{—}

模型概率

\text{—}

全部本征对残差

\text{—}

金色是记录，青色是模型。

中心窗口为 −0.15 到 0.15。直方图区间为 −3.6 到 3.6，最外两格包含全部溢出。每根柱子都是占全部记录的频率。

最近 20 条记录 · 导出所有试次

试次	格点	$E/J$

模型、单位与来源

近邻跃迁取实数，开边界，配对是均匀的无自旋 p 波，没有无序。对完整的实对称 BdG 矩阵做对角化，所有本征对都计入能谱。展宽是分辨率核，不是拟合出的寿命。激发能低于跃迁能量的百亿分之一时，只报告为未分辨。

位置以格距为单位向右增加。能量以跃迁强度为单位，时间以约化普朗克常数除以跃迁强度为单位。波带是诊断表示，两分量之间的距离仅为示意。

H=\begin{pmatrix}h&D\\-D&-h\end{pmatrix},\quad h_{jj}=-\mu,\quad h_{j,j+1}=-J,\quad D_{j,j+1}=-D_{j+1,j}=\Delta_p

实空间矩阵对应有限模型，体色散对应无限模型。配对不为零、化学势绝对值小于两倍跃迁强度时，这条均匀理想链处于拓扑相。单凭近零谱峰，不能普遍用来鉴定材料。

来源：Kitaev 原始量子线模型与 Kwant 超导教程中的 BdG 表述。

先抓重点

核心问题: 超导链体内有能隙，为什么两端会出现零能态？
一句话直觉: 理想拓扑链体内有能隙，两端却有接近零能量的模式。

核心数学模型

电子与空穴振幅

i\hbar\partial_t\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}=H_{\mathrm{BdG}}\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}

这是准粒子的两个分量，不是独立的物理路径。

无限链能谱

E(k)^2=(\mu+2J\cos k)^2+4\Delta_p^2\sin^2 k

化学势绝对值达到两倍跃迁强度时体能隙关闭；有限链仍有离散能谱。

常见难点

模型能说明什么，不能说明什么

容易误解任何零偏压峰都证明存在 Majorana 粒子。

正确理解模型是理想的无自旋 p 波 Kitaev 链，两端开放，配对给定。单凭一个局域零能峰，不能断定真实材料里有 Majorana 模式。这里不模拟编织、量子比特操作、无序和相互作用，也不模拟实验鉴定。能谱按标明的 Lorentz 线宽展宽。

波带不是粒子路径

容易误解隆起的波带是单个粒子的运动路径。

正确理解波带高度表示标明的概率或谱密度；两种颜色画在同一个格点坐标上。

动手实验

01
先做预测
先比较三个预设，再只改变一个连续参数。
你会看到： 链变为平庸相时端点峰消失。
02
找出原因
把探针从端点移到中间，再扫描能隙附近的能量。
你会看到： 边界与体内的局域谱权重不同。
03
采集数据
累积记录，查看直方图与区间，再导出完整 CSV。
你会看到： 模型曲线单独作为参考；金色直方图只由实际保存的模拟事件堆成。