光学 054 · 干涉、相干、光腔与精密测量

全息工作室

在三维全息光学台记录两层相干物场，从实际模拟强度记录恢复复场，观察频带重叠与孪生像，不重新采集即可数字重聚焦。

载频／物理参考倾角

f_c,\theta_r

$0.50$

带符号数字焦深／采集帧数

z,N_{\mathrm{records}}

$50\%$

已知模型场误差／传播功率闭合

\epsilon_{\mathrm{field}},\epsilon_{\mathrm{power}}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

已验证科学装置

全息工作室

记录与重建匹配的真空波长（重新采集）

\lambda

532\,\mathrm{nm}

近层到相机的距离（移动物体）

d_1

100\,\mathrm{mm}

记录后数字对焦深度（负值观察孪生像）

z

100\,\mathrm{mm}

两层真实轴向间距

\Delta d

35\,\mathrm{mm}

全画幅载频条纹数（改变参考倾角）

m

42

参考光场振幅（无噪声模型）

A_r

1.40

数字通带半径（Fourier 频格）

b

10

相机记录条纹，不是拍摄物体的普通照片。在三维光学台下，沿着一张记录的 Fourier 频谱，看到恢复的场。点击“对焦近层 H”和“对焦远层圆环”：同一张记录显露不同深度。移动物体会重新采集；改变数字焦深则不移动硬件。减小载频会与零级重叠，增大过头会越过 Nyquist。切换同轴，在负深度观察孪生像；再切换四步相移，用静止物体的四张强度测量恢复相位。拖动旋转视角；播放只动画记录光路标记。

理想指定限带双层相干物场；标量周期近轴传播。不是有限孔径、材料或商用相机仿真。不含遮挡、光子噪声、像素积分、相位漂移或绝对辐射标定。数字重建不是相机后的实体屏。固定显示转换，全部计算用未截断数据。场误差同独立已知的模拟场比较，不是实验误差测量。

先抓重点

核心问题: 只记录强度的平面怎样保留足够相位信息来重建三维波前？
一句话直觉: 从采集强度提取复场后，对焦变成一次计算： $U_z=\mathcal P_{-z}\{O_{\mathrm{recovered}}\}$ 。将同一记录对焦到 H 与圆环所在深度。改变原始物距需要重新采集，改变重建焦深则不需要。

核心数学模型

一张强度图包含四项

\begin{aligned}R&=A_r e^{2\pi i f_cu}\\I&=|O|^2+|R|^2\\&\quad+OR^*+O^*R\end{aligned}

探测器是两条记录光路末端的吸收平面。中央频谱项是物光与参考光的强度，两侧交叉项包含物场及其复共轭。全部频谱面板由所显示的强度记录计算。假设物光与参考光同波长、同偏振。

分开频带，同时避免越过 Nyquist

\begin{aligned}L&=Np,\quad f_c=m/L\\\sin\theta_r&=\lambda f_c\\m&>2B+b\\m+B&<N/2\end{aligned}

传感器每边 128 个点采样，间距 8 微米。参考光在 1.024 毫米全幅内产生整数条纹数。每层指定物场具有十频格圆形带宽。去掉载频后，数字圆形通带要包含物场，同时避开移位的中央强度项与共轭频带。这些是本限带离散模型的充分分离条件，不是通用相机指标。过小通带丢失信息；越过 Nyquist 会明确提示。

传播与重聚焦使用同一算子

\begin{aligned}H_d(f_u,f_v)&=e^{-i\pi\lambda d(f_u^2+f_v^2)}\\\mathcal P_d\{U\}&=\mathcal F^{-1}[\mathcal F[U]H_d]\\\mathcal P_{-d}\mathcal P_d&=\mathrm{Id}\end{aligned}

正深度表示原始物体位于相机上游，数字恢复按该距离反向传播。模型采用酉、周期边界的近轴角谱传播，省略共同光学载波相位。两个切片使用相同横向采样。放大的装置在轴向与横向采用不同比例，不按真实比例绘制。相机后没有悬浮重建屏。

同轴恢复仍保留孪生项

\begin{aligned}R&=A_r\\\frac{I-A_r^2}{A_r}&=O+O^*+\frac{|O|^2}{A_r}\end{aligned}

只减去已知的参考光独立强度，不凭空移除未知物光强度项。对于本模型指定的实数物场切片，共轭场会在负的带符号深度对焦。因此，同轴预设的正、负深度重建都出现结构，并残留自干涉项。这不是清晰普通照片，也不是商用全息显示器。

四次测量恢复两正交分量

\begin{aligned}Q&=(I_0-I_\pi)\\&\quad+i(I_{\pi/2}-I_{3\pi/2})\\O_{\mathrm{recovered}}&=\frac{Q}{4R^*}\end{aligned}

四张相移卡是分别计算的强度，不是同一图改四种颜色。相对的相移步骤消除两个纯强度项；带符号差恢复复交叉项，再除以已知非零参考光即可恢复传感器场。该对照假设精确的四分之一圈相移与静止物体。噪声、漂移及运动物体的失效不在模型内。

验证恢复的场，不是更漂亮的贴图

\begin{aligned}\epsilon_U&=\frac{\|O_{\mathrm{recovered}}-O\|_2}{\|O\|_2}\\\epsilon_P&=\left|\frac{\sum|U_z|^2}{\sum|O_{\mathrm{recovered}}|^2}-1\right|\end{aligned}

场误差以独立已知的模拟传感器场为审计参考；恢复计算绝不以该场为输入。功率闭合检验数值传播，不代表绝对光能。深度曲线只是区域集中度诊断，不是自动深度测量。记录显示除以已知参考强度，三时为白；重建强度在 1.5 时为白。开根号亮度与对数频谱只改变显示。点采样周期模型省略有限孔径、遮挡、材料响应及像素积分。

常见难点

单张强度记录并不自动包含可恢复的完整相位

容易误解任何条纹图都能重新对焦成完美三维物体。

正确理解恢复需要已知相干参考光与足够频谱分离，或者额外相移测量。同轴重叠、过大倾角与通带裁切会留下歧义或丢失信息。这些失效会显示出来，不会被理想物体图替换。

动手实验

01
场景 1：离轴记录与重聚焦
不改采集控制，使用近、远对焦按钮，比较同一记录在两个深度的重建。
应该观察到： 相机看到干涉，恢复场并传播后才出现可辨认的物体结构。
02
场景 2：同轴孪生像歧义
在同轴孪生像歧义中比较正、负深度对焦；再切回离轴记录与重聚焦，将载频减为零、增到超过六十四，检查频带重叠与采样边界。
应该观察到： 移动物体改变采集；改变数字对焦保持原始记录不变。
03
场景 3：四步相移记录
比较同轴正、负深度，再采集四步相移，检查全部四张强度记录。
应该观察到： 已知模型的数值审计能揭示失效，但不冒充外部实验认证。