光学 054 · 干涉、相干、光腔与精密测量

全息工作室

底片只能记录明暗，怎样留住重建三维波前所需的相位？ 办法是让物光和一束参考光干涉。两束光同相的地方亮，反相的地方暗，相位就记在了条纹的位置里。从条纹中把复数场提取出来，就能用计算让波前传播到任意深度重新对焦，不必再拍一次。

在三维全息光学台上记录处于两个深度的相干物体。从模拟的强度记录恢复复场，查看边带重叠和孪生像，不必重新记录就能数字重聚焦。

载频／物理参考倾角

f_c,\theta_r

$0.50$

带符号数字焦深／采集帧数

z,N_{\mathrm{records}}

$50\%$

已知模型场误差／传播中的功率守恒误差

\epsilon_{\mathrm{field}},\epsilon_{\mathrm{power}}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

全息工作室

记录与重建共用的真空波长（会重新采集）

\lambda

532\,\mathrm{nm}

近层到相机的距离（移动物体）

d_1

100\,\mathrm{mm}

记录后数字对焦深度（负值观察孪生像）

z

100\,\mathrm{mm}

两层真实轴向间距

\Delta d

35\,\mathrm{mm}

全画幅载频条纹数（改变参考倾角）

m

42

参考光场振幅（无噪声模型）

A_r

1.40

数字通带半径（Fourier 频格）

b

10

相机记录的是条纹，不是物体的普通照片。在三维光学台下方，沿一张记录的 Fourier 频谱，一直看到恢复出的场。点击“对焦近层 H”和“对焦远层圆环”：同一张记录显出不同的深度。移动物体会重新采集；改变数字焦距则不移动任何硬件。减小载频，它会与零级重叠；载频调得太高，又会越过 Nyquist 极限。切换到同轴，在负深度处看孪生像；再切到四步相移，用静止物体的四张强度测量恢复相位。拖动可旋转视角；播放只让记录光路上的标记动起来。

物体是两层理想的、给定的限带相干切片，传播按标量、周期、近轴处理。这里不模拟有限孔径、真实材料或商用相机。不考虑遮挡、光子噪声、像素积分、相位漂移和绝对辐射标定。数字重建只是计算结果，相机后面并没有实体屏。显示转换固定，所有计算都用未截断的数据。场误差是把恢复的场和已知的模拟场对比，不是实验误差测量。

先抓重点

核心问题: 底片只能记录明暗，怎样留住重建三维波前所需的相位？
一句话直觉: 从采集的强度里提取出复场之后，对焦就只是一次计算： $U_z=\mathcal P_{-z}\{O_{\mathrm{recovered}}\}$ 。把同一份记录分别对焦到 H 和圆环所在的深度。改变原来的物距要重新采集，改变重建焦深则不用。

核心数学模型

一张强度图包含四项

\begin{aligned}R&=A_r e^{2\pi i f_cu}\\I&=|O|^2+|R|^2\\&\quad+OR^*+O^*R\end{aligned}

探测器是两条记录光路尽头的吸收平面。频谱中央那一项是物光与参考光的强度；两侧偏开的交叉项，分别带着物场和它的复共轭。所有频谱面板都由显示的强度记录算出。假设物光和参考光波长相同、偏振相同。

分开频带，同时避免越过 Nyquist

\begin{aligned}L&=Np,\quad f_c=m/L\\\sin\theta_r&=\lambda f_c\\m&>2B+b\\m+B&<N/2\end{aligned}

传感器每边 128 个点采样，间距 8 微米。参考光在 1.024 毫米宽度上刚好形成整数条条纹。每层指定物场的圆形带宽为十个频格。去掉载频后，数字圆形通带要把物场包进来，同时避开移位的中央强度项和共轭频带。这些只是本模型有意限带、离散化后的充分分离条件，不是通用的相机指标。通带太小会丢信息；越过 Nyquist 时会明确提示。

传播与重聚焦使用同一算子

\begin{aligned}H_d(f_u,f_v)&=e^{-i\pi\lambda d(f_u^2+f_v^2)}\\\mathcal P_d\{U\}&=\mathcal F^{-1}[\mathcal F[U]H_d]\\\mathcal P_{-d}\mathcal P_d&=\mathrm{Id}\end{aligned}

深度为正，表示原始物体在相机上游，数字恢复时就按这个距离反向传播。模型采用酉、周期边界的近轴角谱传播，省略公共的光学载波相位。两层物场切片用相同的横向采样。放大的装置在轴向和横向用不同比例，不是按真实比例画的。相机后面没有悬浮的重建屏。

同轴恢复仍保留孪生项

\begin{aligned}R&=A_r\\\frac{I-A_r^2}{A_r}&=O+O^*+\frac{|O|^2}{A_r}\end{aligned}

只减去已知的参考光单独强度，未知的物光强度项留在里面。指定的物场切片是实数，所以共轭场会在负的带符号深度上对焦。因此在同轴预设里，正、负深度的重建都能看到结构，还残留着自干涉。这不是清晰的普通照片，也不是商用全息显示器。

四次测量恢复两个正交分量

\begin{aligned}Q&=(I_0-I_\pi)\\&\quad+i(I_{\pi/2}-I_{3\pi/2})\\O_{\mathrm{recovered}}&=\frac{Q}{4R^*}\end{aligned}

四张相移卡是分别计算的强度，不是同一张图换了四种颜色。相对的两步相减，两个纯强度项就抵消了；带符号的差恢复出复数交叉项，再除以已知且不为零的参考光，就得到传感器上的场。这个对照假设每步正好四分之一圈、物体静止不动。噪声、漂移和运动物体造成的失败都不在模型里。

检验恢复的场，而不是图像好不好看

\begin{aligned}\epsilon_U&=\frac{\|O_{\mathrm{recovered}}-O\|_2}{\|O\|_2}\\\epsilon_P&=\left|\frac{\sum|U_z|^2}{\sum|O_{\mathrm{recovered}}|^2}-1\right|\end{aligned}

场误差拿单独已知的模拟传感器场作参照；恢复计算从不把这个场当输入。功率检验测的是数值传播，不代表绝对光能。深度曲线只表示某个区域里光有多集中，不是自动测深。记录图除以已知参考强度后显示，到三为白；重建强度到 1.5 为白。开方亮度和对数频谱只改变显示。点采样的周期模型省略了有限孔径、遮挡、材料响应和像素积分。

常见难点

单张强度图不一定能恢复出完整相位

容易误解任何条纹图都能重新对焦成完美三维物体。

正确理解要恢复，需要已知的相干参考光，再加上足够的频谱分离，或者额外的相移测量。同轴重叠、倾角过大、通带裁切，都会留下歧义或丢失信息。这些失败会原样显示，不会被理想目标图替换。

动手实验

01
场景 1：离轴记录与重聚焦
不动任何采集控制，只用近焦、远焦按钮，比较同一张全息记录在两个深度的重建。
你会看到： 相机看到的是干涉条纹；只有恢复出场并传播之后，才能认出物体的结构。
02
场景 2：同轴孪生像歧义
在同轴孪生像歧义中比较正、负深度对焦；再切回离轴记录与重聚焦，把载频降到零，再升到六十四以上，看频带重叠和采样极限。
你会看到： 移动物体会改变采集结果；改变数字对焦，原始记录不变。
03
场景 3：四步相移记录
比较同轴的正、负深度，再采集四步相移，看全部四张强度记录。
你会看到： 用已知模型做数值检验，可以发现失败，但不能替真实实验作证明。

全息工作室

检验全息工作室的物理过程

核心数学模型

一张强度图包含四项

分开频带，同时避免越过 Nyquist

传播与重聚焦使用同一算子

同轴恢复仍保留孪生项

四次测量恢复两个正交分量

检验恢复的场，而不是图像好不好看

常见难点

单张强度图不一定能恢复出完整相位

动手实验

场景 1：离轴记录与重聚焦

场景 2：同轴孪生像歧义

场景 3：四步相移记录

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