光学 018 · 四片透镜藏住一个物块

光线隐身挑战

一组透镜能不能让光线绕开物体，背景看起来却原封不动？ 可以，但只限于靠近光轴的光。四片透镜按合适的间距摆好，每条光线出来时的高度和方向，都和穿过同样长的一段空气时一样，背景看起来没被动过。在装置内部，光沿光轴挤成一细束，放在光束外面那一圈的东西就看不见。装置正中藏不住东西；视角太陡，或者玻璃让不同颜色弯得不一样，物体也会露馅。

把物块藏进 Choi 与 Howell 的四透镜隐身装置，再换更陡的视角、换普通玻璃，或把它挪到光轴上，看它何时露馅。

透过隐身装置看到原位墙面的部分 $\text{—}$

透过隐身装置看到物块的部分 $\text{—}$

透过隐身装置看到黑色镜座的部分 $\text{—}$

各颜色落在墙上的最大间隔 $\text{—}$

透过隐身装置看到墙面错位的部分 $\text{—}$

透镜间距与总长 $\text{—}$

隐身装置对 F 线蓝光的光线矩阵 $\text{—}$

这次记录追踪的光线数 $\text{—}$

实验按傍轴近似追踪光线穿过薄透镜。设计取自 Choi 与 Howell（2014）的四透镜隐身装置：两端透镜焦距 200 mm，中间两片 75 mm；端透镜与相邻中间透镜相距 275 mm，两片中间透镜相距 330 mm，全长 880 mm。方格墙在装置后方 1.9 m，相机在前方 3.1 m，与他们的演示相同。每片透镜都是薄的胶合双合透镜，冕牌和火石两部分分担光焦度，使它在 C 线红光和 F 线蓝光下焦距相同：两端用 N-BK7 配 N-SF2，中间用 BAF11 配 N-SF11，折射率取自 SCHOTT 和 HIKARI 目录公式（BAF11 用 HIKARI 的 E-BAF11）。普通玻璃指焦距在 d 线相同的 N-BK7 单片。实验不计透镜厚度，所以装置长 880 mm，而不是真实透镜的 910 mm，像差只剩色差；Choi 与 Howell 对真实透镜的模拟在 −1.5° 处还有 7.7 % 的畸变。四片透镜通光口径相同，装在宽 15 mm 的黑色镜座里，镜座下是宽 12 mm 的立杆。Choi 与 Howell 用的四片透镜直径都是 50 mm；他们的模拟表明，第二、第三和最后一片透镜要分别大于 33、51 和 112 mm，才不会有光线被挡掉。相机是一个瞄准最后一片透镜中心的针孔，图像 150 × 150 像素，每个像素都按 C、d、F 三条谱线分红、绿、蓝倒着追踪。三种颜色落在墙上的位置，与拿走装置后相比都不超过 2 mm，这一点就算墙在原位；2 mm 小于方格线 2.4 mm 的宽度。物块截面 6 mm 见方，长 24 mm，离每片透镜至少 20 mm。实验不计玻璃表面的反射、衍射和光的相位；Choi 与 Howell 也没有尝试保留相位。他们的三透镜装置，以及棱镜和梯度折射率隐身装置，实验都不追踪。

物理教程

用四片透镜藏住一个物块

背景2014 年，罗切斯特大学的 Joseph Choi 和 John Howell 想弄清楚：把光当作光线时，隐身装置到底要做到什么？他们的答案是：每条光线离开装置时的高度和方向，都要和它穿过同样长的一段空气后一样。他们用四片普通透镜搭出了这样的装置，透过它从四个视角拍下了一面方格墙。

为什么值得理解透镜会让穿过它的每条光线拐弯，似乎只能把后面的东西弄得变形。可是四片透镜按合适的间距摆好，对靠近光轴的光线，彼此的弯折会正好抵消；光在装置内部走的路，又比在空气里窄。放在这条路旁边的东西，就看不见了。

先抓重点

核心问题: 为什么相机看到的墙在原位，却看不到中间两片透镜之间的物块？又是什么让物块重新露出来？
一句话直觉: 靠近光轴的光线，用高度 $y$ 和斜率 $u$ 描述。前两片透镜组成一架望远镜：一束平行光进来，出去时宽度只剩 $f_{2}/f_{1}=3/8$ ，每个倾角都放大到 $8/3$ 倍。后两片透镜把这一切还原；中间两片透镜的间距选得正好，让四片透镜合起来与 880 mm 的空气完全一样。在透镜之间，光挤成一束，宽度只有透镜的八分之三左右，光束外面那一圈，没有一条到达相机的光经过。

核心数学模型

理想的光线隐身装置做了什么

\begin{pmatrix}y_{\mathrm{out}}\\u_{\mathrm{out}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&L\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_{\mathrm{in}}\\u_{\mathrm{in}}\end{pmatrix}

光线以高度 $y_{\mathrm{in}}$ 、斜率 $u_{\mathrm{in}}$ 进入，从另一端出来。穿过长 $L$ 的空气时，斜率不变，高度增加 $Lu_{\mathrm{in}}$ 。矩阵与此相同的装置，会让每条光线像没遇到任何东西一样继续前进，所以从靠近光轴的任何方向看，背景都没变（Choi 与 Howell 2014，式 1）。

每两片透镜是一架望远镜

\begin{gathered}\mathbf{M}_{\mathrm{pair}}=\begin{pmatrix}-f_{2}/f_{1}&f_{1}+f_{2}\\0&-f_{1}/f_{2}\end{pmatrix}\\\frac{f_{2}}{f_{1}}=\frac{75\,\mathrm{mm}}{200\,\mathrm{mm}}=\frac{3}{8}\end{gathered}

焦距 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 的两片透镜相距 $f_{1}+f_{2}$ ，会把一束平行光变成一束更窄的平行光，并且上下颠倒。用 200 mm 和 75 mm 的透镜，内部光束只有原来的八分之三宽，每个角度都放大到三分之八倍。正是这一挤，才腾出了藏东西的地方。

让装置完美的间距

\begin{gathered}t_{1}=f_{1}+f_{2}=275\,\mathrm{mm}\\t_{2}=\frac{2f_{2}(f_{1}+f_{2})}{f_{1}-f_{2}}=330\,\mathrm{mm}\\L=2t_{1}+t_{2}=880\,\mathrm{mm}\end{gathered}

外侧透镜与内侧透镜相距 $t_{1}$ 时，内侧两片透镜的间距 $t_{2}$ 取这个值，四片透镜的矩阵就等于长 $L$ 的空气（Choi 与 Howell，式 10、12、13）。这些是薄透镜的长度；真实的双合透镜让装置长 910 mm。

让红光和蓝光一起聚焦的双合透镜

\begin{gathered}\phi_{\mathrm{crown}}=\frac{V_{\mathrm{crown}}}{V_{\mathrm{crown}}-V_{\mathrm{flint}}}\,\phi\\\phi_{\mathrm{flint}}=-\frac{V_{\mathrm{flint}}}{V_{\mathrm{crown}}-V_{\mathrm{flint}}}\,\phi\\V=\frac{n_{d}-1}{n_{F}-n_{C}}\end{gathered}

玻璃对蓝光的弯折比对红光强。双合透镜把一片冕牌正透镜和一片色散更大、光焦度较弱的火石负透镜胶合在一起，按上式分配光焦度 $\phi=1/f$ ，让两者的色散在 F 线（486 nm）和 C 线（656 nm）之间抵消。 $V$ 是玻璃的阿贝数，N-BK7 为 64.2，N-SF2 为 33.8。

常见难点

光不是绕着空心的中间走

容易误解像故事里的隐身斗篷一样，透镜把光引着绕过中间藏东西的空间。

正确理解装置内部的光沿光轴挤成一细束，藏东西的地方是它外面的那一圈。Choi 与 Howell 也指出，他们的设计要求系统中心保持通畅。

不是从每个角度看都毫无破绽

容易误解矩阵等于空气，装置从哪个方向看都有效。

正确理解矩阵只对小角度成立；内部光束的倾斜又是视角的三分之八倍，相机升得够高，光束就会扫进藏身的那一圈。透镜大小有限，也会切掉一部分视野：用四片 50 mm 透镜时，40 % 的视野落在镜座上。Choi 与 Howell 把透镜边缘附近的这类问题称为边缘效应，提到的补救办法包括按设计选定每片透镜的大小、使用更大的光学元件。

光对准了还不够

容易误解焦距对的透镜，随便哪种都行。

正确理解普通 N-BK7 透镜在红光下的焦距比蓝光下长 1.5 %，所以装置只在一种颜色下等于空气。Choi 与 Howell 用的是消色差双合透镜；他们的模拟还发现，外侧透镜间距变动 1 %，放大率就变化 30 % 到 40 %。

光线不是光的全部

容易误解骗得过相机的装置，在任何测量下都能隐身。

正确理解相机记录的是光落在哪里、有多亮。Choi 与 Howell 只考虑光线光学，没有尝试保留光的相位，而干涉测量比较的正是相位。实验也不计玻璃表面的反射。

动手实验

01
透过装置看一眼
保持默认预设“物块在中间两片透镜之间：藏住了”。
你会看到： 数据区里，相机图像凡是露出墙面的地方，都和拿走装置后的参考图一模一样：这部分占透过装置视野的 60 %，橙色物块一点都看不到。外面那圈暗环占 40 %，是透过透镜看到的镜座。同一点的红、绿、蓝光落在墙上，相距最多 0.43 mm。
02
沿装置前后、上下拖动物块
拖动橙色物块，或用两个物块滑块，让它离光轴保持 20 mm 左右。
你会看到： 沿装置从约 70 mm 到 250 mm、从 330 mm 到 805 mm，它都藏得住；只是第三片透镜前后 20 mm 内不许放物块。靠近两端的透镜、以及刚过第二片透镜的地方，光散得更宽，物块就露出来。在 380 mm 处，它高出光轴不到 17.5 mm，或低于光轴不到 11.5 mm，就会被看见。
03
把物块放到光轴上
载入“物块在光轴上：一眼看见”。
你会看到： 物块现在占视野的 9 %。在装置内部，到达相机的光总是沿着光轴走，所以装置正中永远藏不住东西；视角图里，从任何角度都看得到物块。
04
把相机升高
载入“视角更陡：物块露出来”。
你会看到： 视角 1.6° 时，内部光束倾斜约 4.3°，扫过了物块：视野里 7 % 是物块，一半落在镜座上。图上物块在略高于 0.8° 时开始出现；Choi 与 Howell 拍照的视角在 −0.65° 到 0.95° 之间。
05
把双合透镜换成普通玻璃
载入“普通玻璃：颜色分开了”。
你会看到： 物块仍然藏着，但视野里只有 5 % 是原位墙面，56 % 的墙面错了位：红、绿、蓝光落在墙上相距可达 12 mm，相当于五条方格线宽。颜色图里，从 440 nm 到 660 nm，穿过普通玻璃的那条光线落在原位下方 8 mm 到上方 2 mm 之间，双合透镜则把它控制在 1 mm 左右以内。
06
换大透镜
载入“换大透镜，又藏住了”。
你会看到： 透镜换成 100 mm、物块离光轴 40 mm 时，视角 1.6° 也看不到它，落在镜座上的视野只剩 24 %。可内部光束也宽了一倍，离光轴 20 mm 的物块现在会被看见。双合透镜残余的色差在更大高度上也翻了一倍：22 % 的视野错位超过 2 mm。

光线隐身挑战

用四片透镜藏住一个物块

核心数学模型

理想的光线隐身装置做了什么

每两片透镜是一架望远镜

让装置完美的间距

让红光和蓝光一起聚焦的双合透镜

常见难点

光不是绕着空心的中间走

不是从每个角度看都毫无破绽

光对准了还不够

光线不是光的全部

动手实验

透过装置看一眼

沿装置前后、上下拖动物块

把物块放到光轴上

把相机升高

把双合透镜换成普通玻璃

换大透镜

相关实验与文章

干涉：量长度，也记录图像