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Sandbox Physics

Q057 · 制备 / 拍摄 / 对照

Fermi–Hubbard 自旋关联

制备两种自旋各两颗原子。用联合站点读数、双占据和自旋关联，对比排斥、吸引与升温。

交互模型Fermi–Hubbard 自旋关联
有效快照—\text{—}
邻站自旋关联 · 模型—\text{—}

02 / 拍一张快照

一次制备，四个站点。

蓝色：上自旋；橙色：下自旋；两色同站：双占据。圆点是解码计数，不表示经典自旋朝向。

邻站自旋关联 · 记录

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双占据比例 · 记录

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03 / 反复测量，看见规律

哪两个站点的自旋倾向相反？

选择一个站点，检查它的计数分布。

蓝柱：采集频率。橙线：模型概率。细误差棒：逐点 95% Wilson 区间。

纵向自旋关联 · 来自同一组快照

蓝：负；橙：正；零：白。选择小格查看记录值与模型值。

模型诊断 · 并非由快照反演

虚跃迁有利于相反自旋。超交换尺度适用于强正相互作用、温度低于电荷能隙时。

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04 / 保留同口径对照

保存，改变，再测一次。

保存会固定本组样本，下次拍摄开启新样本；最多保存八组。

科学模型与测量边界

四站点开边界；只允许近邻隧穿，中间连接可减弱。正倾斜表示能量从左向右升高。所有控制共用一个任意参考能量。采用包含全部本征态的正则密度矩阵；零温时等权混合简并基态。

每种自旋两个费米子，保留该数目扇区的全部 36 个态，包含费米交换符号。固定总自旋投影为零，因此高温下仍有约束导致的关联背景。负关联本身不能证明长程有序或纠缠。

每次试验重新制备平衡态；可用率与状态无关，整张图读出失败时仍保留试次。理想占据读出不同于仅分辨奇偶性的荧光显微镜。不模拟光学点扩散、光辅助碰撞、制备动力学或探测误判。

装置示意放大的四站点样品、同一竖直轴线上的收集物镜与相机；用于说明读出几何，并非已标定的光学设计。

Zhang & Dong · 2011 · Cheuk et al. · 2016 · Bakr et al. · 2009

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物理教程

用原子快照建立关联

背景四站点足以展示多体统计，同时保留有限系统的明确边界。

为什么值得理解看起来有规律的一张图，还不是关联测量。

先抓重点

核心问题
邻站自旋在低温时是否更倾向相反？
一句话直觉
每幅直方图和记录关联都使用同一批联合快照。

核心数学模型

Fermi–Hubbard Hamiltonian

H=−∑i=13∑σJi(ciσ†ci+1,σ+h.c.)+U∑ini↑ni↓+∑iViniH=-\sum_{i=1}^3\sum_\sigma J_i(c_{i\sigma}^\dagger c_{i+1,\sigma}+\mathrm{h.c.})+U\sum_i n_{i\uparrow}n_{i\downarrow}+\sum_i V_i n_i

每种自旋各两颗粒子；有序自旋轨道包含费米交换符号。

读出两种自旋

Siz=ni↑−ni↓2,Cijzz=⟨SizSjz⟩S_i^z=\frac{n_{i\uparrow}-n_{i\downarrow}}2,\quad C_{ij}^{zz}=\langle S_i^zS_j^z\rangle

每张图内相乘，再对新制备图像求平均。双占据与空站点的自旋投影都为零。

虚跃迁尺度

Jex≃4J2UU2−F2(U−∣F∣≫J, U>0)J_{\rm ex}\simeq\frac{4J^2U}{U^2-F^2}\quad(U-|F|\gg J,\ U>0)

这是包含倾斜修正的两侧连接尺度；中间连接需再乘连接比例的平方。该式用于强耦合解释，实际计算仍求解完整 Hamiltonian。

制备平衡态

ρ=Z−1e−H/(kBT),Vi=F(i−5/2),J1=J3=J, J2=rJ\rho=Z^{-1}e^{-H/(k_BT)},\quad V_i=F(i-5/2),\quad J_1=J_3=J,\ J_2=rJ

固定数目扇区中的正则系综；零温等权混合简并基态。改变控制相当于重新制备，不是动力学扫掠。

整张图的概率

P(n)=⟨n∣ρ∣n⟩P(\mathbf n)=\langle\mathbf n|\rho|\mathbf n\rangle

采样联合 Fock 构型，不独立采样各站边缘分布。整张图要么成功读出，要么标记未读出。

常见难点

有限尺寸

容易误解四站点结果就是宏观相图。

正确理解这里只展示有限系统交叉，不推断热力学临界点、长程有序或超导。

读出约定

容易误解彩色小格复现了已标定的显微镜图像。

正确理解它们编码理想数目读数，费米子另分辨自旋。真实奇偶成像、光学分辨率与光辅助损失需要另建模型。

动手实验

  1. 01

    制备

    从第一组预设开始，再选另一组条件。

    应该观察到： 每组预设含 200 次明确标注的模拟拍摄。
  2. 02

    检查

    选择一张快照、一个站点与一个关联小格。

    应该观察到： 即使设置相同，单次构型也会不同。
  3. 03

    对照

    保存样本，调整温度或相互作用，重新采集并导出。

    应该观察到： CSV 保留未读出试次与采集设置。