量子物质 / 费米原子

Fermi–Hubbard · 读出邻居的自旋

为什么相邻的原子更愿意自旋相反？ 排斥让两个原子很难待在同一格。可自旋相反的邻居还能短暂跳到对方格上再跳回来，借此降低能量；自旋相同的邻居被 Pauli 原理挡住，没法这样做。这点小小的交换能偏向相邻自旋反向排列，温度则会把它打乱。

在小晶格里逐格数清两种自旋的原子。调节排斥、跃迁、填充和温度，从一张张完整快照里统计双占据和连通自旋关联，再拿升温和空穴的情况作对照。

改一个条件，看概率怎样变化。

原子一样多，邻居却不同。

微调晶格

先切换三组对照，再微调下方参数。概率条会立即变化。

同格相互作用

U/E_*

8

格间跃迁

J/E_*

1

温度

k_B T/E_*

0

填充、晶格与采样

线性倾斜

F a/E_*

0

中间键倍率

J_c/J

1

中心束缚

V/E_*

0

格点数

L

4

上自旋原子数

N_\uparrow

2

下自旋原子数

N_\downarrow

2

每批制备次数

M

400

采样种子

s

5607

改变物理设置会重新制备并清空当前记录。对照前，可固定模型或保存样本。

计算的是两到四格开放链的精确正则平衡态，自旋和粒子数的探测都是理想的。把两种自旋的原子数各自固定，本身就会带来关联。结果不代表二维相图，也不是超导计算。

逐格观察原子晶格

L=4

上自旋下自旋空格示意图 · 每格一个轨道

每次测量都重新制备一份相同状态。

有两个及以上原子的格点

0\%

反向单占据的邻居

0\%

模型概率 · 对全部格点或相邻键取平均。

从预测到记录下的结果

哪些排列会反复出现？

点击一行，放大查看该构型。金色是模型概率，青色是快照中的实际频率。

每张快照都来自一次新的制备

同一个状态，每次结果不同。

最近的快照点击回看

一张快照从左往右读。空圈代表空格；两点代表同一轨道中的两个原子。这些是独立结果，不是原子移动的连续帧。

逐格统计的测量数据

先拍快照，再求平均。

青柱：记录均值；误差线：一个标准误差；金色短线：精确模型期望。

M=0

\text{—}

\text{—}

配对数按格点平均；邻居读数是原始自旋乘积，与下方连通协方差分开。估计仅使用原始记录。误差按独立制备计算，不把同一快照中的格点当成独立样本；一次制备不提供估计标准误差。

逐格数值

格点	测得均值	样本方差	模型均值

自旋关联测量数据

平均之后，还剩下什么关联？

$\begin{gathered}\widehat C_{ij}=\frac{1}{M-1}\sum_r\\(S_{i,r}^z-\bar S_i^z)(S_{j,r}^z-\bar S_j^z)\end{gathered}$

珊瑚色为负、青色为正；不足两份快照时为灰色。数值是无偏样本协方差；固定总自旋在高温也会造成背景关联，小矩阵中的负值不证明长程有序。

留下一组对照

试验	读出	结果

展示最近十二条，CSV 保留全部结果与设置；费米占据先列所有上自旋格点，再列所有下自旋格点。最多保存六组，点击可恢复。

精确小系统 · 明确边界

D=0

包含所选粒子数扇区中的全部构型，玻色单格占据除固定总数外不作截断。残差检查数值对角化，不评估单带物理模型的准确性。

\begin{gathered}x_i=i-(L-1)/2\\V_i=Vx_i^2+Fa,x_i\end{gathered}

格点从左至右，以格距为单位。中间键倍率作用于从零数起的第二条键（四格），两格及三格时作用于第一条键。全部能量采用固定参考能量。开放边界；省略加载斜坡、高能带、成像点扩散、热库及二维体相极限。零温简并基态取等权混合。

\text{—}

交换估计仅在半填充、无势阱、无倾斜、均匀键且排斥至少为跃迁八倍时显示；这是强排斥参考，不是相变温度。

Greiner et al. · 2002 Mazurenko et al. · 2017 配套实验

先抓重点

核心问题: 为什么相邻的原子更愿意自旋相反？
一句话直觉: 排斥让两个原子很难待在同一格。虚跃迁让相邻原子偏向自旋相反，可这份交换能很小，温度一高就会盖过它。

核心数学模型

开放链 Hamiltonian

\begin{gathered}H=-J\sum_{i,\sigma}(c^\dagger_{i\sigma}c_{i+1,\sigma}+\mathrm{h.c.})\\+U\sum_i n_{i\uparrow}n_{i\downarrow}+\sum_i V_i n_i\end{gathered}

每格只有一个轨道。能量用固定的参考单位表示，调节跃迁不会改变这个单位。

连通自旋关联

C_{ij}=\langle S_i^zS_j^z\rangle-\langle S_i^z\rangle\langle S_j^z\rangle

样本协方差扣掉了平均自旋的乘积。两种自旋的总数固定，远处的格点之间仍会互相牵制。

交换能标

J_{\mathrm{ex}}\simeq\frac{4J^2}{U}

这是强排斥、半填充时的参考值，不是精确的有限温相变温度。

常见难点

小系统不是无限系统

容易误解几个格点就能定出宏观的相变。

正确理解这些小系统的精确计算显示的是渐变和关联，给不出热力学临界点。

计算曲线与原子计数

容易误解计算曲线是从数到的原子重建出来的。

正确理解参考曲线直接由密度矩阵算出；柱图、均值和协方差只用原始样本。

动手实验

01
从对照开始
先采集自由情况并保存，再保持填充不变，加大排斥。
你会看到： 把双占据和自旋关联矩阵跟保存的自由情况比一比。
02
打破规律
先升温，再减少一个上自旋原子。
你会看到： 换了填充或势阱，同样大小的排斥未必带来同样的关联。
03
检验极限
把跃迁设为零，比较两格与四格，并导出完整记录。
你会看到： 简并的基态按等权混合，不会随意挑出某一张有序快照。