量子物质 / 玻色原子

Bose–Hubbard · 数清量子涨落

晶格里原子间的排斥越来越强，会发生什么？ 原子越来越不愿意挤在同一格，每格的原子数涨落变小。原子渐渐被钉在各自格点上，格点之间失去相位相干，动量分布里那个尖锐的干涉峰也慢慢消失。

在小晶格里制备原子，逐格数原子数，再把同一状态的独立副本释放出去测动量。排斥加大后，每格原子数的涨落变小，干涉峰也变平。还可以比较整填充、缺粒子和加中心势阱几种情况。

晶格只有两到四格。计算用的是总粒子数固定的完整单带基底，制备理想基态或正则热态。数原子和单原子动量测量都是理想的，不考虑成像损失。看到的是有限系统里的渐变，不是热力学意义上的相变线。

逐格观察原子晶格

L=4

一个原子空格示意图 · 每格一个轨道

测量方式

每次测量都重新制备一份相同状态。

有两个及以上原子的格点

0\%

恰好一个原子的格点

0\%

模型概率 · 对全部格点或相邻键取平均。

从预测到记录下的结果

哪些排列会反复出现？

点击一行，放大查看该构型。金色是模型概率，青色是快照中的实际频率。

每张快照都来自一次新的制备

同一个状态，每次结果不同。

最近的快照点击回看

一张快照从左往右读。空圈代表空格；两点代表同一轨道中的两个原子。这些是独立结果，不是原子移动的连续帧。

逐格统计的测量数据

先拍快照，再求平均。

青柱：记录均值；误差线：一个标准误差；金色短线：精确模型期望。

M=0

\text{—}

\text{—}

配对数按格点平均；邻居读数是原始自旋乘积，与下方连通协方差分开。估计仅使用原始记录。误差按独立制备计算，不把同一快照中的格点当成独立样本；一次制备不提供估计标准误差。

逐格数值

格点	测得均值	样本方差	模型均值

动量测量数据

中央峰还在吗？

$ka/\pi$

青色为 24 个等宽区间的频率，金色为模型逐区间积分概率，不拟合记录。平坦 Wannier 包络与单区读出是理想化；每份独立制备只记录一个原子。

留下一组对照

试验	读出	结果

展示最近十二条，CSV 保留全部结果与设置；费米占据先列所有上自旋格点，再列所有下自旋格点。最多保存六组，点击可恢复。

精确小系统 · 明确边界

D=0

包含所选粒子数扇区中的全部构型，玻色单格占据除固定总数外不作截断。残差检查数值对角化，不评估单带物理模型的准确性。

\begin{gathered}x_i=i-(L-1)/2\\V_i=Vx_i^2+Fa,x_i\end{gathered}

格点从左至右，以格距为单位。中间键倍率作用于从零数起的第二条键（四格），两格及三格时作用于第一条键。全部能量采用固定参考能量。开放边界；省略加载斜坡、高能带、成像点扩散、热库及二维体相极限。零温简并基态取等权混合。

Greiner et al. · 2002 Mazurenko et al. · 2017 配套实验

先抓重点

核心问题: 晶格里原子间的排斥越来越强，会发生什么？
一句话直觉: 总数固定，每一格的原子数仍然可以涨落。排斥很强时，原子不愿同挤一格，单粒子相干也随之减弱。

核心数学模型

开放链 Hamiltonian

\begin{gathered}H=-J\sum_i(b_i^\dagger b_{i+1}+\mathrm{h.c.})\\+\frac U2\sum_i n_i(n_i-1)+\sum_i V_i n_i\end{gathered}

每格只有一个轨道。能量用固定的参考单位表示，调节跃迁不会改变这个单位。

动量概率密度

p(q)=\frac{1}{2\pi N}\sum_{ij}\langle b_i^\dagger b_j\rangle e^{iq(i-j)}

每次独立制备只随机取一个原子，在一个布里渊区内读出动量。假定 Wannier 包络是平的。

局域数目涨落

\operatorname{Var}(n_i)=\langle n_i^2\rangle-\langle n_i\rangle^2

表格用无偏样本方差。只有一张快照，估计不了涨落。

常见难点

小系统不是无限系统

容易误解几个格点就能定出宏观的相变。

正确理解这些小系统的精确计算显示的是渐变和关联，给不出热力学临界点。

计算曲线与原子计数

容易误解计算曲线是从数到的原子重建出来的。

正确理解参考曲线直接由密度矩阵算出；柱图、均值和协方差只用原始样本。

动手实验

01
从对照开始
先采集自由情况并保存，再保持填充不变，加大排斥。
你会看到： 比较每一格的方差，再采集一组独立的动量样本。
02
打破规律
减少一个原子，再增强中心束缚。
你会看到： 换了填充或势阱，同样大小的排斥未必带来同样的关联。
03
检验极限
把跃迁设为零，比较两格与四格，并导出完整记录。
你会看到： 简并的基态按等权混合，不会随意挑出某一张有序快照。