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Sandbox Physics

Q056 · 制备 / 拍摄 / 对照

Bose–Hubbard 晶格

增强排斥，逐张采集占据快照，看数目涨落逐渐减小。四个站点，让多体状态变得可以逐项检查。

交互模型Bose–Hubbard 晶格
有效快照—\text{—}
平均数涨落 · 模型—\text{—}

02 / 拍一张快照

一次制备，四个站点。

数字为理想原子计数；小格是解码读数，不代表荧光亮度。

平均数涨落 · 记录

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同站原子对数 · 记录

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03 / 反复测量，看见规律

每个站点的数目有多不确定？

选择一个站点，检查它的计数分布。

蓝柱：采集频率。橙线：模型概率。细误差棒：逐点 95% Wilson 区间。

数目连通协方差 · 来自同一组快照

蓝：负；橙：正；零：白。选择小格查看记录值与模型值。

模型诊断 · 并非由快照反演

中间连接两端的归一化相干性。仅凭数目快照，不能确定这个非对角量。

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04 / 保留同口径对照

保存，改变，再测一次。

保存会固定本组样本，下次拍摄开启新样本；最多保存八组。

科学模型与测量边界

四站点开边界；只允许近邻隧穿，中间连接可减弱。正倾斜表示能量从左向右升高。所有控制共用一个任意参考能量。采用包含全部本征态的正则密度矩阵；零温时等权混合简并基态。

四个玻色子，保留全部 35 个占据态，包括四颗同站。涨落减小表示有限系统的 Mott 式交叉，不是热力学相边界。

每次试验重新制备平衡态；可用率与状态无关，整张图读出失败时仍保留试次。理想占据读出不同于仅分辨奇偶性的荧光显微镜。不模拟光学点扩散、光辅助碰撞、制备动力学或探测误判。

装置示意放大的四站点样品、同一竖直轴线上的收集物镜与相机；用于说明读出几何，并非已标定的光学设计。

Zhang & Dong · 2011 · Cheuk et al. · 2016 · Bakr et al. · 2009

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物理教程

在小晶格中读取数目涨落

背景四站点足以展示多体统计，同时保留有限系统的明确边界。

为什么值得理解看起来有规律的一张图，还不是关联测量。

先抓重点

核心问题
排斥能否锁定占据？
一句话直觉
每幅直方图和记录关联都使用同一批联合快照。

核心数学模型

Bose–Hubbard Hamiltonian

H=−∑i=13Ji(bi†bi+1+h.c.)+U2∑ini(ni−1)+∑iViniH=-\sum_{i=1}^3J_i(b_i^\dagger b_{i+1}+\mathrm{h.c.})+\frac U2\sum_i n_i(n_i-1)+\sum_i V_i n_i

保留四玻色子的全部占据构型，站点从左向右编号。

数目协方差

Cij=⟨ninj⟩−⟨ni⟩⟨nj⟩C_{ij}=\langle n_i n_j\rangle-\langle n_i\rangle\langle n_j\rangle

对角线为数涨落；固定总粒子数要求每行之和为零。经验估计采用样本均值，并除以可读快照数。

相干性需要另一类测量

g23(1)=⟨b2†b3⟩⟨n2⟩⟨n3⟩g_{23}^{(1)}=\frac{\langle b_2^\dagger b_3\rangle}{\sqrt{\langle n_2\rangle\langle n_3\rangle}}

这个非对角量由模型计算；仅凭站点数目图像无法重建。

制备平衡态

ρ=Z−1e−H/(kBT),Vi=F(i−5/2),J1=J3=J, J2=rJ\rho=Z^{-1}e^{-H/(k_BT)},\quad V_i=F(i-5/2),\quad J_1=J_3=J,\ J_2=rJ

固定数目扇区中的正则系综；零温等权混合简并基态。改变控制相当于重新制备，不是动力学扫掠。

整张图的概率

P(n)=⟨n∣ρ∣n⟩P(\mathbf n)=\langle\mathbf n|\rho|\mathbf n\rangle

采样联合 Fock 构型，不独立采样各站边缘分布。整张图要么成功读出，要么标记未读出。

常见难点

有限尺寸

容易误解四站点结果就是宏观相图。

正确理解这里只展示有限系统交叉，不推断热力学临界点、长程有序或超导。

读出约定

容易误解彩色小格复现了已标定的显微镜图像。

正确理解它们编码理想数目读数，费米子另分辨自旋。真实奇偶成像、光学分辨率与光辅助损失需要另建模型。

动手实验

  1. 01

    制备

    从第一组预设开始，再选另一组条件。

    应该观察到： 每组预设含 200 次明确标注的模拟拍摄。
  2. 02

    检查

    选择一张快照、一个站点与一个关联小格。

    应该观察到： 即使设置相同，单次构型也会不同。
  3. 03

    对照

    保存样本，调整温度或相互作用，重新采集并导出。

    应该观察到： CSV 保留未读出试次与采集设置。