M013 · 受力与接触

电梯秤与视重

秤在什么时候不再显示通常的体重？ 只要电梯在加速。秤称的其实是托着你的力，不是重力：向上加速时读数偏大，向下加速时偏小；自由下落时读数为零，重力还在，只是没有东西托着你了。

给升降台编排运动，对比匀速和加速。再释放驱动，跟踪乘客离开秤面、落回时的冲量，以及移动底板做的功。

接触状态 $\text{就绪}$

选定时刻 $\text{就绪}$

秤的支持力 $\text{就绪}$

重力大小 $\text{就绪}$

支持力与重力之比 $\text{就绪}$

底板高度 $\text{就绪}$

乘客脚底高度 $\text{就绪}$

脚底与秤的间隙 $\text{就绪}$

底板加速度，向上为正 $\text{就绪}$

乘客速度，向上为正 $\text{就绪}$

时钟前碰撞次数 $\text{就绪}$

最近一次碰撞冲量 $\text{就绪}$

时钟前碰撞耗散 $\text{就绪}$

机械能平衡残差 $\text{就绪}$

传感器记录行数 $\text{就绪}$

先编排运动，再采集、对比

追踪支持力

乘客质量

m

75.00\,kg

记录时长

T

8.00\,s

初始升降台与乘客速度

v_0

0.00\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}

第 1 段加速度

a_{f,1}

2.00\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}

第 2 段加速度

a_{f,2}

0.00\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}

第 3 段加速度

a_{f,3}

0.00\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}

第 4 段加速度

a_{f,4}

-2.00\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}

第 5 段加速度

a_{f,5}

0.00\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}

驱动：持续／释放

R

0.00\,

释放时刻比例

\tau_r

0.40\,

力误差上界

\epsilon_N

0.00\,N

重力加速度大小

g

9.80\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}

传感器采样率

f_s

10.00\,Hz

确定性误差种子

s

17.00\,

回放比例

\tau

0.20\,

拖动五个蓝色加速度手柄，或者用对应的滑块。每段加速度各占总时长的五分之一，段与段之间加速度瞬间跳变。升降台是敞口的试验台，由外部驱动，既能向上拉，也能向下推；释放后驱动撤掉，升降台做理想自由落体。这里不模拟缆绳弹性，也不模拟实际的安全系统。

向上为正。位置分别跟踪乘客脚底和秤面；乘客当作刚体，质心相对脚底的偏移固定。底板只能推人，不能拉人。离开秤面后，乘客沿精确的抛物线运动；落回时是完全非弹性碰撞，相对速度变为零。不考虑天花板、地面和空气阻力，也不考虑人体变形。

理想的落回碰撞冲量有限，持续时间为零，事件表里单独列出。力曲线只画平常的支持力；恰好落在碰撞瞬间的采样留空，不会画出假的力峰。其余采样都叠加了有界的确定性误差，不是真实传感器数据。

能量计算包括三部分：支持力连续做的功，碰撞时运动的底板传递的功，再减去碰撞中耗散掉的相对动能。秤的读数为零，并不表示重力消失。给定的驱动既可以做正功，也可以做负功。

采集只保存力的采样值和时间。回放不会改动记录；改了运动或传感器设置，记录就会清空。导出包含全部原始行，表格只预览开头和结尾各最多 80 行。没有 WebGL 时，金色时钟和键盘滑块照样能用；页面不会自动播放。

力学过程是理想化的。接触怎样处理、秤测的是什么，页面上都写明了。

先抓重点

核心问题: 秤在什么时候不再显示通常的体重？
一句话直觉: 底板只能把乘客往上推，不能把乘客往下拉。

核心数学模型

接触时的支持力

N-mg=ma_p,\qquad N\geq0

乘客踩在底板上时，支持力才等于运动所需的约束力。

相对底板的飞行

\begin{aligned}r&=y_p-y_f\geq0\\\ddot r&=-g-a_f\quad(N=0)\end{aligned}

加速度恒定，用精确的抛物线就能算出空隙下一次合拢的时刻。

完全非弹性落回

\begin{aligned}J&=m(v_f-v_p^-)\\Q&=\tfrac12m(v_p^--v_f)^2\end{aligned}

底板速度由外界给定，碰撞时间为零。

移动底板的能量平衡

\begin{aligned}\Delta(K+U)&=\int N\,\mathrm d y_f\\&\quad+\sum_i J_i v_{f,i}-\sum_i Q_i\end{aligned}

底板运动时，碰撞中做的功和耗散的能量都要算进去。

常见难点

向下运动不等于加速

容易误解电梯只要往下走，人就会变轻。

正确理解不管向上还是向下，只要匀速，秤都显示平时的体重；只有加速度会改变读数。底板被驱动着比自由落体还快地往下走，人就会离开秤面；落回时，接触给出的是一个冲量，不是有限大小的力峰。

动手实验

01
速度还是加速度？
对比向上匀速和启动、匀速、制动两个预设。
你会看到： 运动中的秤，照样可以显示平时的体重。
02
编排升降台
在离秤再落回预设里，把一段指令拖到自由落体加速度以下。
你会看到： 乘客离开秤面，而不是受到负的支持力。
03
细看落回瞬间
展开“采集与诊断”看落回时刻，再拖动乘客回看附近的运动。
你会看到： 位置是连续的，速度却因冲量突然改变。
04
采集秤的记录
展开“采集与诊断”，采集秤记录并导出。
你会看到： 定时采样的力和瞬时碰撞冲量分开记录。

核心数学模型

接触时的支持力

相对底板的飞行

完全非弹性落回

移动底板的能量平衡

常见难点

向下运动不等于加速

动手实验

速度还是加速度？

编排升降台

细看落回瞬间

采集秤的记录