E-X1 · 看子体逐渐积累

衰变链计数器

母体不断衰变，子体的计数为什么还会先升高？ 母体衰变会不断补充子体。起初补进来的比子体自己衰掉的多，子体活度就会升高；后来补充变少，它也逐渐衰减。探测概率和本底还会改变实际数到的次数。

看两步衰变怎样改变样品颜色、送出计数脉冲。移动探测器，采集一段新计数，再把起伏与预计时间曲线比较。

已存母体脉冲 $0$

已存子体脉冲 $0$

预计子体峰时 $0$

模型假设

假想的纯母体先变成放射性子体，再变成稳定产物，各次等待时间独立且服从指数分布。颜色理想地区分两个衰变通道。圆形探测器半径为三厘米，与点状各向同性源正对；几何接受度再乘本征效率。均匀泊松本底平均分到两通道。有限源各时间箱的信号计数相关，平滑参考积分Bateman活度，并保留两半衰期相等的连续极限。回放使用已存的逐核衰变时刻。粒子输运、脉冲时间与核尺度均为示意，不含分支、死时间、堆积、能谱或真实核素标定。

已存合成观测

沿时间数清两步衰变

默认状态

母体计数

子体计数

解析生成模型参考

柱状图来自已存探测脉冲；虚线把两种活度经过相同探测响应与本底后积分。

先抓重点

核心问题: 母体不断衰变，子体的计数为什么还会先升高？
一句话直觉: 母体补进来的比子体自己衰掉的多，子体就会积累。

核心数学模型

母体损失与子体补充

\frac{dN_A}{dt}=-\lambda_A N_A,\qquad\frac{dN_B}{dt}=\lambda_A N_A-\lambda_BN_B

母体每衰变一次生成一个子体，第二步结束后进入稳定产物。

半衰期决定衰变概率

\lambda=\frac{\ln2}{T_{1/2}}

单个核在单位时间内的衰变机会固定，实际等待时间仍然不同。

一段时间内的预计计数

\mu_{i,k}=p_{\rm det}\int_{t_k}^{t_{k+1}}\lambda_iN_i(t)\,dt+\frac{b\Delta t}{2}

探测概率包括圆盘立体角与本征效率，已知本底平均分入两个理想通道。

常见难点

计数还取决于装置

容易误解计数降低就证明原子核衰变慢了。

正确理解即使核衰变率相同，探测器所见立体角变小，也会数到较少脉冲。

有限核数联系着各时间箱

容易误解每一个信号时间箱都是独立泊松实验。

正确理解一个初始原子核在每一步只能衰变一次，它的衰变时刻同时决定种群和计数。

动手实验

01
先看子体积累
选择“子体积累”，追踪蓝色母体与琥珀色子体，再比较对应计数箱。
你会看到： 母体立刻减少，子体起初补充多于损失，峰值来得更晚。
02
移动探测器
把探测器向远处拖，再采集一轮。
你会看到： 立体角变小，信号计数下降。重新采集之前，已有图保持原样。
03
让两种半衰期相同
选择“相同半衰期”，采集一轮。
你会看到： 子体仍平滑地先升后降，相同半衰期是正常的连续极限。