M026 · 固体力学

压杆屈曲与初始缺陷

受压的柱子会先压弯失稳，还是材料先屈服？ 细长压杆通常先失稳。它的屈曲载荷取决于刚度和长度，与强度无关；载荷越接近这个值，一点点初弯或偏心就会迅速放大。所以材料再结实，也可能还没屈服就先压弯了。

给两端铰支的矩形压杆加压，杆可以先带一点弯，也可以偏心受压。先看线性理论里弯曲怎样随载荷放大，再和完美压杆两端被推近时的弹性线比较，最后用测到的力和横向位移估计临界载荷。

Euler 临界载荷 $\text{就绪}$

施加压力 $\text{就绪}$

最大横向偏移 $\text{就绪}$

最大绝对纤维应力 $\text{就绪}$

几何长细比 $\text{就绪}$

最大中心线斜率 $\text{就绪}$

两端间距 $\text{就绪}$

弯曲应变能 $\text{就绪}$

弹性线弧长残差 $\text{就绪}$

Southwell 记录推断临界力 $\text{就绪}$

采集测点数 $\text{就绪}$

模型状态 $\text{就绪}$

设定几何和加载历史，再记录原始数据

受压的柱子会先压弯失稳，还是材料先屈服？

压杆长度

L

1.00\,m

截面宽度

b

30.00\,mm

弯曲方向厚度

h

3.00\,mm

Young 模量

E

70.00\,GPa

弹性应力上限

\sigma_y

250.00\,MPa

初始正弦弯曲幅值

a_0

2.00\,mm

载荷线偏心

e

0.00\,mm

压力与 Euler 临界力比例

P/P_{cr}

0.95\,

弹性线端部缩短比例

\Delta/L

0.04\,

分支：线性或完美弹性线

s

0.00\,

弹性线积分区间数

N

128.00\,

横向测点位置比例

s_p/L

0.50\,

传感器扰动倍率

\epsilon_n

0.00\,

两端可以自由转动，并始终在同一条竖直线上。压杆沿厚度方向弯曲。蓝色实体是受载的矩形压杆，灰色是不受力时的形状。所有长度按同一真实比例画出，挠度没有放大。金色接触测头选定读数位置。载荷箭头共用一个显示比例。

线性分析把正弦形初弯曲和两端等偏心载荷的正割解叠加起来，忽略轴向缩短。载荷达到 Euler 力、斜率超过 0.2、应力超过所选弹性上限，或长细比低于四十时，就不能再采集。超出这些范围的形状只是候选，不能当作确定的平衡态。

完美弹性线分支先给定端部缩短量，再用椭圆积分求形状。它忽略初弯曲、偏心、轴向伸长和剪切，也不把有缺陷的线性解延续到奇点之后。画面显示第一条正向分支，不模拟动态突跳，也不模拟破坏过程。

采集时在一个测点上扫描低于临界值的载荷。Southwell 拟合把实测附加挠度除以实测力，对附加挠度作回归，截距不固定。只有正弦初弯曲不为零、又没有偏心时才能用。噪声增益每一个单位，扰动上限是 0.02 牛和一微米。结果不给置信区间。

压杆细长，保持弹性。斜率过大、材料屈服或载荷到达 Euler 奇点时，线性预测就停下。完美、不可伸长的弹性线单独计算，它不是带缺陷压杆屈曲之后的解。

先抓重点

核心问题: 仅靠强度能阻止屈曲吗？
一句话直觉: 装置画面、读数和能量或稳定性记录，描述的都是同一个物理状态。

核心数学模型

Euler 载荷

\begin{aligned}I&=\frac{bh^3}{12}\\P_{cr}&=\frac{\pi^2EI}{L^2}\end{aligned}

两端铰支时，压杆按第一阶模态弯成半个正弦波。只有杆足够细长、应力仍在弹性范围内，这个理想化才成立。

初弯曲怎样被放大

\begin{aligned}y_0(s)&=a_0\sin\frac{\pi s}{L}\\y(s)&=\frac{y_0(s)}{1-P/P_{cr}}\end{aligned}

这是小斜率下的线性解，只在临界载荷以下成立，不描述屈曲之后的变形。

偏心受压时的挠度

y_e(s)=e\left[\frac{\cos\!\left(\sqrt{P/EI}(s-L/2)\right)}{\cos\!\left(\sqrt{P/EI}L/2\right)}-1\right]

两端施加相等的偏心力，杆端就有弯矩。这部分正割解的挠度，和正弦初弯曲带来的挠度直接叠加。

完美弹性线的载荷与缩短

\begin{aligned}P&=\frac{4EI\,K(k)^2}{L^2}\\\frac{\Delta}{L}&=2\left(1-\frac{\mathcal E(k)}{K(k)}\right)\end{aligned}

这是两端铰支、不可伸长压杆的第一支屈曲解，用两端被推近的距离来标记。力和形状都由完全椭圆积分给出。

用 Southwell 方法估计临界力

\begin{aligned}v&=y-y_0\\\frac{v}{P}&=\frac{v+a_0\sin(\pi s_p/L)}{P_{cr}}\end{aligned}

在同一个测点，用测到的附加位移和力拟合一条截距可调的直线，斜率的倒数就是临界力的估计。

常见难点

模型在哪里失效

容易误解画出来的曲线很平滑，物理上就一定对。

正确理解要看这个状态是否落在模型成立的范围内，还要看采集到的记录。这些教学模型不能为真实试样作担保。

动手实验

01
看微小初弯曲怎样变大
选“微小初弯曲”，加大压力，看侧视图。
你会看到： 灰线是不受力时的形状。还没到 Euler 载荷，横向偏移就已经在变大。
02
试试偏心受压
选“偏心压力”，然后采集一次扫描。
你会看到： 偏心时的曲线照样能测，但不会给出 Southwell 估计，因为这个方法只适用于正弦形初弯曲。
03
越过模型的适用范围
选“超过 Euler 力”，或者把杆加厚、缩短。
你会看到： 采集会停下：状态已经碰到 Euler 奇点或材料屈服，或者杆太短太粗，超出了细长杆的范围。
04
先测量，再和弹性线比较
在正弦初弯曲下采集一次扫描；再选“缩短控制弹性线”，把积分加密。
你会看到： 对原始数据做回归，得到临界力的估计。弹性线那边，算出的弧长正好回到杆的原长。