M042 · 能量与几何

过山车能量设计器

设计圆形或椭圆回环，释放滑动质点，核对支持力、摩擦热及终点速度。采集物理有效轨迹，完成三项设计约束。

选中测点时间 $\text{就绪}$

选中速度 $\text{就绪}$

选中支持力与重力之比 $\text{就绪}$

最大支持力与重力之比 $\text{就绪}$

动能 $\text{就绪}$

势能 $\text{就绪}$

轨道摩擦热 $\text{就绪}$

能量闭合 $\text{就绪}$

有效前缀终止时间 $\text{就绪}$

细化后时间差 $\text{就绪}$

原始速度与高度推断重力 $\text{就绪}$

接触、载荷及终点挑战 $\text{就绪}$

接触状态 $\text{就绪}$

采集测点数 $\text{就绪}$

几何 / 接触 / 计时

能量够了，仍会失去接触吗？

释放高度

H

6.00\,m

回环水平半径

R

2.00\,m

竖直与水平半径之比

b/R

1.00\,

初始向下速度

v_0

0.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}

质点质量

m

1.00\,kg

轨道动摩擦系数

\mu

0.00\,

最大支持载荷上限

G_{max}

7.50\,

最低终点速度

v_{min}

2.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}

每段积分区间数

N

160.00\,

重放时间比例

t/T_{max}

0.42\,

传感器噪声增益

\eta

0.00\,

单侧轨道上的质点，重力向下，左法线定义支持方向；忽略滚动惯量、阻力及真实列车悬架。

重放止于首次检测到支持力消失或前进停止；不模拟后续飞行、反向及撞击。几何切向连续，四段连接处曲率跳变。

灰色为设计轨道，蓝色为有效前缀。力箭头使用相同增益；小珠为示意，所有轨道坐标采用同一物理比例。

重力估计只读取采集速度与高度，有摩擦时不提供。噪声增益缩放毫秒、十分之一毫米、每秒毫米及百分之一牛。

单侧质点接触模型，在支持力消失或前进停止处结束。明确曲率跳变及示意硬件。

先抓重点

核心问题: 能量够了，仍会失去接触吗？
一句话直觉: 追踪接触有效前缀，不在脱离后延伸约束解。

核心数学模型

几何与支持

\begin{aligned}\mathbf t&=\frac{d\mathbf r}{ds}\\\mathbf n&=(-t_y,t_x)\\N/m&=v^2\kappa+g\,t_x\end{aligned}

有符号曲率及左法线来自实际轨道中心线；正支持力沿左法线推动。

切向动力学

\begin{aligned}\frac{d(v^2)}{ds}&=-2g\frac{dy}{ds}-2\mu\frac{N}{m}\\\frac{dQ}{ds}&=\mu N\end{aligned}

仅正支持力产生动摩擦；速度平方及热量独立积分。

能量账本

\frac12mv^2+mgy+Q=\frac12mv_0^2+mgH

接触成立时法向支持力不做功；独立积分摩擦热用于闭合账本。

圆形回环阈值

\begin{aligned}N_{top}/m&=v_{top}^2/R-g\\v_{bottom}^2&\ge5gR\end{aligned}

无摩擦圆形回环的接触条件强于仅到达顶部所需能量。

原始记录重力估计

v_i^2=\alpha-2g\,y_i

用采集高度与速度拟合自由截距和斜率；摩擦使此推断失效并禁用。

常见难点

理想化装置

容易误解画出的球包含滚动、悬架及真实硬件动力学。

正确理解这是滑动质点模型；轨道和标记厚度为示意。

动手实验

01
分离能量与接触
对比完成圆形回环、理想接触阈值及能量够而接触失效。
应该观察到： 蓝色有效前缀止于轨道无法继续推动的位置。
02
设计回环
调整回环两方向半径、摩擦、载荷上限及要求终点速度。
应该观察到： 仅满足能量预算不会通过三项挑战。
03
采集物理有效前缀
采集轨迹，展开原始记录并导出 CSV。
应该观察到： 接触失效或停止之后不生成传感器记录。
04
核对数值一致性
加倍积分区间，对比时间细化差及独立热量账本。
应该观察到： 细化差是数值诊断，不是严格误差界。