M042 · 能量与几何

过山车能量设计器

过山车的能量够爬到环顶，还会中途脱离轨道吗？ 会。能量只决定每一点的速率。要贴着轨道走，轨道还得一直推着车；在环里，车速不够快、弯又太急，这个推力就降到零。假如车的能量刚好够爬到环顶，到顶时速度就是零，实际上它还没到顶就离开轨道了。

把回环设计成圆形或椭圆形，释放一个滑动质点，查看支持力、摩擦生热和终点速度。只要质点还贴着轨道，就能采集它的轨迹；再试试同时满足三项要求的设计挑战。

选中测点时间 $\text{就绪}$

选中速度 $\text{就绪}$

选中支持力与重力之比 $\text{就绪}$

最大支持力与重力之比 $\text{就绪}$

动能 $\text{就绪}$

势能 $\text{就绪}$

轨道摩擦热 $\text{就绪}$

能量守恒残差 $\text{就绪}$

有效前缀终止时间 $\text{就绪}$

细化后时间差 $\text{就绪}$

由原始速度和高度推断的重力 $\text{就绪}$

接触、载荷及终点挑战 $\text{就绪}$

接触状态 $\text{就绪}$

采集测点数 $\text{就绪}$

调整轨道形状，再看接触和用时

过山车的能量够爬到环顶，还会中途脱离轨道吗？

释放高度

H

6.00\,m

回环水平半径

R

2.00\,m

竖直与水平半径之比

b/R

1.00\,

初始向下速度

v_0

0.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}

质点质量

m

1.00\,kg

轨道动摩擦系数

\mu

0.00\,

最大支持载荷上限

G_{max}

7.50\,

最低终点速度

v_{min}

2.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}

每段积分区间数

N

160.00\,

重放时间比例

t/T_{max}

0.42\,

传感器噪声增益

\eta

0.00\,

质点沿单侧轨道运动，轨道只能推、不能拉。重力向下，支持力沿轨道的左法线方向。模型忽略滚动惯量、阻力和真实列车的悬架。

重放在第一次检测到支持力消失或前进停止时结束，之后的飞出、倒退和撞击都不模拟。轨道切线方向连续变化，四段连接处的曲率却会突变。

灰色是设计的轨道，蓝色是模型仍然有效的那一段。所有力箭头用同一个比例。小珠只是示意，轨道坐标全部按同一真实比例。

重力估计只用采集到的速度和高度；有摩擦时不给出估计。传感器噪声是噪声增益分别乘以一毫秒、十分之一毫米、一毫米每秒和百分之一牛。

质点在单侧轨道上滑动，轨道只能推、不能拉。支持力消失或质点不再前进时，模拟就停止。几段轨道的连接处曲率会跳变，硬件只是示意。

先抓重点

核心问题: 过山车的能量够爬到环顶，还会中途脱离轨道吗？
一句话直觉: 质点贴着轨道时，约束解才成立；一旦脱离，就不能再拿它往后算。

核心数学模型

轨道方向、法线与支持力

\begin{aligned}\mathbf t&=\frac{d\mathbf r}{ds}\\\mathbf n&=(-t_y,t_x)\\N/m&=v^2\kappa+g\,t_x\end{aligned}

有符号曲率和左法线直接取自设计好的轨道中心线。支持力为正时，沿左法线方向推。

沿轨道的速度与生热

\begin{aligned}\frac{d(v^2)}{ds}&=-2g\frac{dy}{ds}-2\mu\frac{N}{m}\\\frac{dQ}{ds}&=\mu N\end{aligned}

只有支持力为正时才有动摩擦。速度平方和热量分开积分。

能量守恒

\frac12mv^2+mgy+Q=\frac12mv_0^2+mgH

保持接触时，法向支持力不做功。另外积分出的摩擦热补上差额，两边正好相等。

圆形回环的接触条件

\begin{aligned}N_{top}/m&=v_{top}^2/R-g\\v_{bottom}^2&\ge5gR\end{aligned}

在无摩擦的圆形回环上，要在顶部保持接触，需要的能量比刚好到达顶部更多。

用原始记录估计重力

v_i^2=\alpha-2g\,y_i

用采集到的高度和速度拟合一条直线，截距和斜率都自由取值。有摩擦时这个推断不成立，Lab 会把它关掉。

常见难点

理想化的小球

容易误解屏幕上的球会滚动，有悬架，跟真过山车的硬件一样。

正确理解这是滑动质点模型，轨道和小珠画出来的粗细只是示意。

动手实验

01
区分能量和接触
对比完成圆形回环、理想接触阈值和能量够而接触失效三个预设。
你会看到： 蓝色有效路径在轨道推不动质点的地方结束。
02
设计回环
调整回环两个方向的半径、摩擦、载荷上限和要求的终点速度。
你会看到： 只满足能量要求，过不了三项挑战。
03
采集有效的那段轨迹
采集轨迹，展开原始记录，再导出 CSV。
你会看到： 质点脱离轨道或停住以后，不会再生成传感器记录。
04
检查数值精度
把积分区间加倍，比较细化后的时间差和单独积分出的摩擦热。
你会看到： 时间差反映步长细化后结果变了多少，不是严格的误差界。