M031 · 观察者与不变量

质心动量系 Lab

总动量为零，两物体仍会运动吗？ 会。在质心系里，两个物体动量等大反向，总动量为零，但两者都在运动。这个参考系里的动能最小，剩下的这部分动能，就是一次碰撞最多能损失的能量。

让两个球斜着相撞，再换不同的观察者来看。把动能分成质心运动和内部运动两部分，比较弹性碰撞、按法向恢复系数反弹的碰撞，以及完全没撞上的情况。

最近有效估计窗时刻 $\text{准备就绪}$

估计横向动量 $\text{准备就绪}$

估计动能 $\text{准备就绪}$

运动状态 $\text{准备就绪}$

所选时刻 $\text{准备就绪}$

观察者横向速度 $\text{准备就绪}$

A 在所选系横向速度 $\text{准备就绪}$

A 纵向速度 $\text{准备就绪}$

B 在所选系横向速度 $\text{准备就绪}$

B 纵向速度 $\text{准备就绪}$

所选系总横向动量 $\text{准备就绪}$

总纵向动量 $\text{准备就绪}$

所选系总动能 $\text{准备就绪}$

内部动能 $\text{准备就绪}$

所选系质心动能 $\text{准备就绪}$

时钟前耗散能量 $\text{准备就绪}$

动能分解残差 $\text{准备就绪}$

参考系变换残差 $\text{准备就绪}$

原始位置帧数 $\text{准备就绪}$

可用斜率估计数 $\text{准备就绪}$

模型接触时刻 $\text{准备就绪}$

时钟前冲量 $\text{准备就绪}$

观察、采集，再换参考系

实验不变，只换观察者

A 质量

m_A

1.00\,kg

B 质量

m_B

1.00\,kg

A 初始横向速度

v_{A,0}

3.00\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}

B 初始横向速度

v_{B,0}

-1.00\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}

记录时长

T

3.00\,s

观察者选择

S

0.00\,

列车观察者速度

U_{\mathrm{train}}

2.00\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}

传送带观察者速度

U_{\mathrm{belt}}

-1.00\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}

自定义观察者速度

U

0.00\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}

位置采样率

f_s

10.00\,Hz

有界位置误差

\epsilon

0.01\,m

确定性误差种子

s

23.00\,

居中斜率窗口

w

5.00\,

回放比例

\tau

0.60\,

纵向球心偏置

b

0.35\,m

法向恢复系数

e

0.80\,

两颗半径相同的光滑球在无摩擦的水平面上运动。初速度都沿横向，纵向偏置决定是斜碰还是错开。法向冲量服从恒定的恢复系数，切向相对速度不变。模型不考虑摩擦、自旋、形变、有限接触时间和水平外力；重力和支持力在竖直方向上抵消。

恢复系数为零，只消除沿法向的相对运动。斜碰时，两球仍可保留切向运动并分开，不会粘在一起。只有正碰且恢复系数为零的预设，才会让两球保持接触、以共同速度运动。事件时刻和总冲量是模型参考值，不是测得的峰值。

可以用装置上方的按钮或观察者滑块切换参考系。所有坐标原点起初重合，质心不一定在原点，每个观察者都以恒定的横向速度运动。列车和传送带只是观察者的名字，不是会施力的运动表面。切换观察者只改变坐标和能量的分配方式，不改变物理实验本身。

两条物理坐标轴都在水平面内，竖直轴向上。金色是 A，蓝色是 B。各个方向上一米的比例都相同。绿色十字标出几何质心，不是第三个物体。速度箭头按固定增益画出。点击播放可以半速回放，也可以拖动装置下方的时间滑块。默认镜头同时跟随两个物体；画面移出屏幕或切换标签页时，播放暂停。

采集只保存实验室系中离散的位置和时间戳，并叠加有界的确定性误差。这些噪声不代表校准过的置信区间。切换参考系、回放或调整斜率窗口，都保留同一份原始记录；改变质量、运动或传感器设置，则会清空记录。

速度由居中的最小二乘斜率估计，只取完整、等时距的窗口，端点和缺帧处略去。跨过碰撞的窗口给出的是平均的速度变化，不是碰前或碰后的瞬时速度。估计读数显示离时钟最近的有效窗口及其中心时刻。分析只用记录的位置、给定的质量和观察者速度，不读取理想碰撞时刻。窗口加宽能压低噪声，也会模糊真实的跃变。

原始 CSV 导出实验室系的全部位置行。行数不超过 160 时，表格全部预览，否则只显示开头和末尾各 80 行。重建的动量和动能取决于指定的质量和含噪的速度估计，属于估计值，和模型参考曲线不是一回事。没有 WebGL 时，控件、图表和导出照常可用。

模型采用理想牛顿力学，并说清楚采集的数据能推断什么、不能推断什么。

先抓重点

核心问题: 总动量为零，两物体仍会运动吗？
一句话直觉: 在看到总动量为零的观察者那里，动能最小，但两个物体仍在相对运动。

核心数学模型

同一事件，不同参考系

\begin{aligned}x_i^\prime&=x_i-Ut\\v_{x,i}^\prime&=v_{x,i}-U\end{aligned}

所有观察者都以恒定的横向速度运动；时间和纵向坐标不变。

动量随观察者改变

P_x^\prime=P_x-MU,\qquad P_y^\prime=P_y

在本实验的初始条件下，质心系里的总动量为零。

质心系里动能最低

\begin{aligned}K^\prime&=K-UP_x+\tfrac12MU^2\\&=\tfrac12M|\mathbf V_{\rm cm}-U\hat{\mathbf x}|^2+K_{\rm int}\end{aligned}

把这个公式和两个物体动能直接相加的结果比较，残差就是两者之差。

法向冲量与能量损失

\begin{aligned}J&=-(1+e)\mu\,\mathbf w^-\!\cdot\mathbf n\\Q&=\tfrac12\mu(1-e^2)(\mathbf w^-\!\cdot\mathbf n)^2\end{aligned}

相对速度取 B 减 A，法线由 A 指向 B。只有两球接触时还在互相靠近，才会有冲量。

常见难点

换观察者不会改变运动本身

容易误解切换观察者会改变碰撞，或者让动能全部消失。

正确理解同样的位置和冲量，只是换了一套坐标来描述。除非相互作用耗散能量，内部动能一直都在。

动手实验

01
预测观察者
先找到让 A 静止的观察者，再比较质心观察者。
你会看到： 让一个物体静止，一般并不能让总动量为零。
02
沿动能曲线移动
横向拖动动能曲线上的铜色手柄。
你会看到： 最低点由总质量和总动量决定，并不代表绝对静止的参考系。
03
比较几种相遇
比较斜碰撞、弹性、零恢复与未命中预设。
你会看到： 所有惯性观察者得到的冲量和耗散能量都一样。
04
先采集，再切换
采集位置，切换观察者，把有限窗口的估计值和参考值对比。
你会看到： 切换观察者后，实验室原始记录完全不变。

核心数学模型

同一事件，不同参考系

动量随观察者改变

质心系里动能最低

法向冲量与能量损失

常见难点

换观察者不会改变运动本身

动手实验

预测观察者

沿动能曲线移动

比较几种相遇

先采集，再切换