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Sandbox Physics

M031 · 观察者与不变量

质心动量系 Lab

解析两体斜碰撞，切换观察者，将质心运动与内部动能分开。比较弹性交换、法向恢复与未命中。

交互模型质心动量系 Lab
最近有效估计窗时刻准备就绪\text{准备就绪}
估计横向动量准备就绪\text{准备就绪}
估计动能准备就绪\text{准备就绪}
运动状态准备就绪\text{准备就绪}
所选时刻准备就绪\text{准备就绪}
观察者横向速度准备就绪\text{准备就绪}
A 在所选系横向速度准备就绪\text{准备就绪}
A 纵向速度准备就绪\text{准备就绪}
B 在所选系横向速度准备就绪\text{准备就绪}
B 纵向速度准备就绪\text{准备就绪}
所选系总横向动量准备就绪\text{准备就绪}
总纵向动量准备就绪\text{准备就绪}
所选系总动能准备就绪\text{准备就绪}
内部动能准备就绪\text{准备就绪}
所选系质心动能准备就绪\text{准备就绪}
时钟前耗散能量准备就绪\text{准备就绪}
动能分解残差准备就绪\text{准备就绪}
参考系变换残差准备就绪\text{准备就绪}
原始位置帧数准备就绪\text{准备就绪}
可用斜率估计数准备就绪\text{准备就绪}
模型接触时刻准备就绪\text{准备就绪}
时钟前冲量准备就绪\text{准备就绪}

物理教程

质心动量系 Lab

背景牛顿力学允许等价的匀速观察者。

为什么值得理解解析两体斜碰撞，切换观察者，将质心运动与内部动能分开。比较弹性交换、法向恢复与未命中。

先抓重点

核心问题
总动量为零，两物体仍会运动吗？
一句话直觉
总动量为零会使动能最低，但不会消除内部运动。

核心数学模型

同一事件，不同参考系

xi′=xi−Utvx,i′=vx,i−U\begin{aligned}x_i^\prime&=x_i-Ut\\v_{x,i}^\prime&=v_{x,i}-U\end{aligned}

这里只使用恒定横向速度变换；时间和纵向坐标不变。

动量随观察者改变

Px′=Px−MU,Py′=PyP_x^\prime=P_x-MU,\qquad P_y^\prime=P_y

本实验初始条件下，质心系总动量为零。

动能存在最低点

K′=K−UPx+12MU2=12M∣Vcm−Ux^∣2+Kint\begin{aligned}K^\prime&=K-UP_x+\tfrac12MU^2\\&=\tfrac12M|\mathbf V_{\rm cm}-U\hat{\mathbf x}|^2+K_{\rm int}\end{aligned}

残差与直接相加的两体动能比较。

解析法向冲量

J=−(1+e)μ w− ⁣⋅nQ=12μ(1−e2)(w− ⁣⋅n)2\begin{aligned}J&=-(1+e)\mu\,\mathbf w^-\!\cdot\mathbf n\\Q&=\tfrac12\mu(1-e^2)(\mathbf w^-\!\cdot\mathbf n)^2\end{aligned}

相对速度为 B 减 A，法线由 A 指向 B；仅闭合接触施加冲量。

常见难点

区分参考系选择与动力学

容易误解切换观察者会改变碰撞，或消除全部动能。

正确理解同一组物理位置和冲量采用不同坐标；除非相互作用耗散能量，内部动能仍存在。

动手实验

  1. 01

    预测观察者

    先找到让 A 静止的观察者，再比较质心观察者。

    应该观察到： 一个物体静止通常不代表总动量为零。
  2. 02

    沿动能曲线移动

    横向拖动动能曲线上的铜色手柄。

    应该观察到： 最低点由总质量与动量决定，不意味着绝对静止系。
  3. 03

    解析相遇

    比较斜碰撞、弹性、零恢复与未命中预设。

    应该观察到： 冲量与耗散能量不随惯性观察者改变。
  4. 04

    先采集，再切换

    采集位置，切换观察者，对比有限窗估计与参考。

    应该观察到： 切换后实验室原始记录保持相同。