机械运动学 · 滚子包络

凸轮运动设计器

凸轮不停转，从动件能停住吗？ 能。轮廓上有一段以转轴为圆心的圆弧，滚子转到这一段时离轴心的距离不变，从动件就停着，凸轮照样转。其余轮廓决定它怎么升、怎么落。升程相同，上升角越短，速度和加速度越大；转速加倍，加速度变成四倍。

转动凸轮（画的是实际加工出的边缘），看导轨里的滚子怎样上升、停住、再落回。比较摆线和五次两种升程规律，看看上升角一缩短，加速度和压力角为什么都会变大。

从动件升程 $0$

输出有符号速度 $0$

输出加速度 $0$

转轴一圈耗时 $0$

有符号压力角 $0$

最大绝对压力角 $0$

最小法向偏置裕量 $0$

接触或连杆残差 $0$

转动与比较

用轮廓形状设定运动。

转轴相位

\theta

65.00\,{}^\circ

指定转轴角速率

\omega

60.00\,{}^\circ/\mathrm s

基圆半径

R_b

1.05\,\mathrm m

从动件升程

h

0.45\,\mathrm m

上升与回程各占角度

\beta

120.00\,{}^\circ

滚子半径

a

0.15\,\mathrm m

在运动平面内，向右、向上为正，纵深方向朝向你。转轴相位从曲柄指向右方时算起，逆时针增加。控制面板用度，内部计算和 CSV 用弧度、米和秒。

从动件先从低位上升，在高位停歇；转到半圈时开始回程，最后在低位停歇。上升和回程占用的转角相同，两段停歇各自补满所在的半圈。预设用来选择摆线或五次升程规律，其余控制不会改变所选规律。

节曲线是滚子中心在凸轮坐标系里走过的轨迹。把节曲线沿法向往里移一个滚子半径，就得到金色轮廓。压力角从从动件向上的运动方向量到接触法线，法线向右倾时为正；峰值读数取它的最大绝对值。偏置裕量为正，说明轮廓没有局部尖点，并不代表强度等级。

播放转完一圈就停。所有曲线和导出数据都是理想运动学的精确结果，在一圈内取样，不是测量数据。位置、速度和加速度出自同一个模型。模型不考虑质量、摩擦、反向间隙、弹性变形、真实接触载荷和驱动安全。

滚子靠理想的外部约束贴住凸轮，不模拟复位弹簧或预紧，也不追踪滚子自转。两种规律和停歇段衔接时，位移、速度和加速度都连续，跃度却可能突变。画面流畅，不代表真实的从动件不会脱离凸轮。

凸轮和滚子按理想平面零件处理，滚子沿直线移动。假定滚子始终贴着凸轮，转轴匀速转动。这里不选弹簧，也不计算接触力、摩擦、滚子自转、弹性变形和滚子脱开后的运动。

先抓重点

核心问题: 凸轮不停转，从动件能停住吗？
一句话直觉: 凸轮边缘是绕转轴的圆弧时，从动件不动；其余部分按所选的位移规律来定形状。

核心数学模型

摆线升程

s=h\left(u-\frac{\sin(2\pi u)}{2\pi}\right),\quad u=\theta/\beta

这条式子管上升段；回程把它倒过来用，停歇段位移不变。

五次升程

s=h(10u^3-15u^4+6u^5)

两种规律进入停歇时，速度和加速度都为零，但跃度仍可能突变。

滚子中心的节曲线与实际边缘

\rho=R_b+a+s,\quad\mathbf p=(\rho\sin\theta,\rho\cos\theta),\quad\mathbf c=\mathbf p-a\mathbf n

构造轮廓时，让凸轮坐标系逆着输入方向转，法向取节曲线的外法向。再把边缘正向转回来，接触点正好落在滚子表面上。

压力角与偏置边缘有无尖点

\tan\varphi=-\frac{s'}\rho,\quad\kappa=\frac{\rho^2+2(s')^2-\rho s''}{(\rho^2+(s')^2)^{3/2}},\quad m=1-a\kappa

撇号表示对转轴角（弧度）求导。最小裕量读数扫描一整圈；另有独立的几何测试，在整个控制范围内检查接触和偏置边缘有无尖点。

常见难点

运动学模型不是受力模型

容易误解动画转得顺，真实机构就能按这个转速运行。

正确理解动画顺只说明几何上走得通。接触载荷、惯性、摩擦、弹性变形和驱动设计都要另建模型，零件厚度也只是示意。

滚子中心并非凸轮边缘

容易误解沿节曲线（滚子中心走过的路径）直接加工，就得到滚子凸轮。

正确理解实际边缘要沿节曲线的法向向内退一个滚子半径。直接沿半径方向减去滚子半径，一般是错的。

动手实验

01
转动一圈
选择运动平面视角，播放或拖动珊瑚色曲柄。
你会看到： 停歇时凸轮照样在转，升程不变，速度为零。
02
缩短上升角
保持升程，缩短上升角，再增大基圆。
你会看到： 上升角越短，速度和加速度越大。基圆加大后，压力角变小，升程曲线不变。
03
比较升程规律
尺寸不变，比较摆线和五次两个预设，再把轴转速加倍。
你会看到： 两种规律升到同样高度，停歇也一样。轴转速加倍，速度翻倍，加速度变成四倍。

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