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Sandbox Physics

Q060 · 释放 / 探测 / 对照

Bloch 振荡

倾斜周期晶格，拖动时间查看运动。比较波包折返与单站呼吸，再加入无序扰乱复现。

交互模型Bloch 振荡
演化时间 · 模型00
平均位置 · 模型00

02 / 一次探测，只有一个位置

逐次探测，累积出分布。

平均位置 · 记录

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宽度 · 记录

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有效 / 尝试 · 当前时刻

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蓝柱：记录频率；橙线：模型概率；细线：逐点 95% Wilson 区间。位置以晶格间距为单位，均值误差为一个经验标准误。当前时刻没有记录，就不显示估计。

03 / 查看整段演化

回到原处，不等于没有动过。

模型概率 · 点击或拖动选择时刻

时间向下增加。颜色采用从十万分之一到一的固定对数概率尺度，暗格不代表概率严格为零。

平均位置随时间 · 模型线与记录点

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复现保真度比较完整状态与初态，仅凭位置图像无法重建它。

04 / 原子经历的势能

亲手改变斜坡。

Vn/E∗V_n/E_*

向上拖动施加向右的力：站点能量向右下降。势能斜率不会改变站点的实际位置。

准动量 · 仅模型 ka/πka/\pi

第一 Brillouin 区内的 81 点 Fourier 诊断，与站点采集记录分开。这里没有模拟飞行时间成像。

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05 / 保存对照

同一个问题，换一组条件。

最多保存八组固定样本；保存后再次采集会开启新样本。

科学模型与边界

一个粒子，81 个站点从 −40 到 40，开边界、近邻隧穿。所有能量共用固定参考能量，时间采用对应的约化 Planck 时间。完整对角化有限 Hamiltonian 并进行幺正演化，不靠事后归一化掩盖误差。

H=−J∑n(∣n⟩⟨n+1∣+h.c.)+∑n(ϵn−Fan)∣n⟩⟨n∣H=-J\sum_n(|n\rangle\langle n+1|+\mathrm{h.c.})+\sum_n(\epsilon_n-Fan)|n\rangle\langle n|

初态是具有相位梯度的归一化离散 Gaussian 波包；宽度为零时制备单站态。无序从独立均匀噪声生成，可与按权重平方和归一的 Gaussian 核卷积。它不是光学散斑或准周期势。

始终只有单能带，不计算能带激发或 Landau–Zener 泄漏。Bloch 周期和干净晶格参考只适用于无序为零、边界尚未影响运动时。有限时间平台不能确证无限系统 Anderson 局域化或多体局域化。

每次试验重新制备，演化至所选时刻，再测一次位置。与状态无关的漏检保留在 CSV 中，不包含隐藏站点。显微镜是放大站距的几何示意，不模拟荧光、分辨率或光学标定。

Billy et al. · 2008 · Korsch & Mossmann · 2003 · Ben Dahan et al. · 1996

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物理教程

晶格为何让运动折返

背景有限相干链把明确的 Hamiltonian 与逐次站点测量连接起来。

为什么值得理解静止的一张图无法区分受限、复现和边界反射。

先抓重点

核心问题
恒力能产生折返吗？
一句话直觉
周期能带改变速度；单站初态展现呼吸，而非质心运动。

核心数学模型

有限晶格

H=−J∑n(∣n⟩⟨n+1∣+h.c.)+∑n(ϵn−Fan)∣n⟩⟨n∣H=-J\sum_n(|n\rangle\langle n+1|+\mathrm{h.c.})+\sum_n(\epsilon_n-Fan)|n\rangle\langle n|

站点从左向右；正力使能量向右降低。改变隧穿时，参考能量保持不变。

初态制备

ψn(0)∝exp⁡[−(na)2/(4σ02)+ik0an]\psi_n(0)\propto\exp[-(na)^2/(4\sigma_0^2)+ik_0an]

在有限链上归一化离散 Gaussian。宽度为零时改为中央单站态，每次测量都重新制备。

位置统计

xˉ=a∑nnpn,σx2=a2∑n(n−xˉ/a)2pn\bar x=a\sum_n n p_n,\quad \sigma_x^2=a^2\sum_n(n-\bar x/a)^2p_n

模型概率与经验频率分开。测量均值只用成功探测的位置；至少两次有效读数才给出经验标准误。

单能带运动

E(k)=−2Jcos⁡(ka),ℏk˙=FE(k)=-2J\cos(ka),\quad \hbar\dot k=F

干净无限链中，速度由周期色散的斜率决定。继续穿过 Brillouin 区会使速度变号。

Bloch 周期

TB=2πℏ∣F∣aT_B=\frac{2\pi\hbar}{|F|a}

干净单能带的复现周期是解析参考。存在无序、力为零或边界效应显著时，它不再是完整模型的复现预测。

完整状态的返回

F(t)=∣⟨ψ(0)∣ψ(t)⟩∣2\mathcal F(t)=|\langle\psi(0)|\psi(t)\rangle|^2

这是仅模型可见的保真度。仅位置返回不能恢复这个量需要的相位。单站初态即使质心不动，分布仍会呼吸。

常见难点

有限观察

容易误解窄波包证明了无限系统的相。

正确理解有限时间、有限长度及样本依赖始终存在；不推断局域长度、迁移率边或多体相。

单能带

容易误解这里的大力结果适用于任意强度的真实光晶格。

正确理解模型没有第二能带。真实仪器可能泄漏至高能带；未指定能隙时，不声明定量施力适用范围。

动手实验

  1. 01

    预测

    先对照前两组预设，再查看数据。

    应该观察到： 每组预设包含 200 次明确标注的模拟探测。
  2. 02

    查看时间

    拖动时间或概率图，采集 17 个时刻。

    应该观察到： 播放保留数据且不增加试次；扫描在每个时刻使用独立制备的原子。
  3. 03

    检验解释

    保存后改变无序样本或初始宽度，再次扫描并导出原始记录。

    应该观察到： 保存样本保留原设置；漏检记录不导出隐藏站点。