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Sandbox Physics

Q060 · 释放、探测、对照

Bloch 振荡

晶格里的粒子受恒力推动，为什么不越跑越快，反而来回振荡？ 因为在周期晶格里，恒力让准动量一直增加，到了边界就绕回能带另一端，速度随之反向。波包只会来回振荡，不会越跑越快；从单个格点出发的态则一胀一缩，像在呼吸。无序会破坏这种回归。

把周期晶格倾斜，拖动时间看粒子怎么运动。比较来回折返的波包和从单个站点出发、原地呼吸的态，再加入无序，看复现怎样被打乱。

交互模型Bloch 振荡
演化时间 · 模型00
平均位置 · 模型00

02 / 每次探测只得到一个位置

逐次探测，累积出分布。

平均位置 · 记录

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宽度 · 记录

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有效 / 尝试 · 当前时刻

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蓝柱：记录频率；橙线：模型概率；细线：逐点 95% Wilson 区间。位置以晶格间距为单位，均值误差为一个经验标准误。当前时刻没有记录，就不显示估计。

03 / 查看整段演化

回到原处，不等于没有动过。

模型概率 · 点击或拖动选择时刻

时间向下增加。颜色采用从十万分之一到一的固定对数概率尺度，暗格不代表概率严格为零。

平均位置随时间 · 模型线与记录点

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复现保真度比较完整状态与初态，仅凭位置图像无法重建它。

04 / 原子经历的势能

亲手改变斜坡。

Vn/E∗V_n/E_*

向上拖动施加向右的力：站点能量向右下降。势能斜率不会改变站点的实际位置。

准动量 · 仅模型 ka/πka/\pi

第一 Brillouin 区内的 81 点 Fourier 诊断，与站点采集记录分开。这里没有模拟飞行时间成像。

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05 / 保存一组对照

同一个问题，换一组条件。

最多保存八组固定样本；保存后再次采集会开启新样本。

科学模型与边界

一个粒子在 81 个站点上运动，站点位置从 −40 到 40，开边界，只有近邻隧穿。所有能量都以同一个固定参考能量为单位，时间用对应的约化 Planck 时间。有限 Hamiltonian 完整对角化后做幺正演化，不做事后重新归一化。

H=−J∑n(∣n⟩⟨n+1∣+h.c.)+∑n(ϵn−Fan)∣n⟩⟨n∣H=-J\sum_n(|n\rangle\langle n+1|+\mathrm{h.c.})+\sum_n(\epsilon_n-Fan)|n\rangle\langle n|

初态是具有相位梯度的归一化离散 Gaussian 波包；宽度为零时制备单站态。无序从独立均匀噪声生成，可与按权重平方和归一的 Gaussian 核卷积。它不是光学散斑或准周期势。

始终只有单能带，不计算能带激发或 Landau–Zener 泄漏。Bloch 周期和干净晶格参考只适用于无序为零、边界尚未影响运动时。有限时间平台不能确证无限系统 Anderson 局域化或多体局域化。

每次试验都重新制备，演化到所选时刻，再测一次位置。漏检与状态无关，记在 CSV 里，但不附带隐藏的站点。显微镜只是几何示意，站距经过放大，不模拟荧光、分辨率和光学标定。

Billy et al. · 2008 · Korsch & Mossmann · 2003 · Ben Dahan et al. · 1996

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物理教程

晶格为何让运动折返

背景原子在一条有限长的链上相干演化，Hamiltonian 明确写出；每次测量只在一个站点上找到它。

为什么值得理解只看一张静止的图，分不清原子是被限制住了、自己回来了，还是被边界弹了回来。

先抓重点

核心问题
恒定的力能让粒子折返吗？
一句话直觉
周期能带让速度随动量改变；从单个站点出发的态只会原地呼吸，质心并不移动。

核心数学模型

有限长的链

H=−J∑n(∣n⟩⟨n+1∣+h.c.)+∑n(ϵn−Fan)∣n⟩⟨n∣H=-J\sum_n(|n\rangle\langle n+1|+\mathrm{h.c.})+\sum_n(\epsilon_n-Fan)|n\rangle\langle n|

站点从左往右编号；力为正时，越往右站点能量越低。改变隧穿强度，参考能量不变。

初态制备

ψn(0)∝exp⁡[−(na)2/(4σ02)+ik0an]\psi_n(0)\propto\exp[-(na)^2/(4\sigma_0^2)+ik_0an]

离散 Gaussian 在有限链上归一化。宽度为零时，初态改为只占中央一个站点。每次测量都重新制备同一个初态。

位置统计

xˉ=a∑nnpn,σx2=a2∑n(n−xˉ/a)2pn\bar x=a\sum_n n p_n,\quad \sigma_x^2=a^2\sum_n(n-\bar x/a)^2p_n

模型概率和实测频率分开显示。测量均值只用成功探测到的位置；有效读数至少两次，才给出标准误。

单能带运动

E(k)=−2Jcos⁡(ka),ℏk˙=FE(k)=-2J\cos(ka),\quad \hbar\dot k=F

在干净的无限长链里，速度由周期能带的斜率决定。动量越过 Brillouin 区继续走，速度就会变号。

Bloch 周期

TB=2πℏ∣F∣aT_B=\frac{2\pi\hbar}{|F|a}

这是干净单能带下复现周期的解析值。有无序、力为零或边界效应明显时，它就不再预言完整模型何时复现。

整个态的回归

F(t)=∣⟨ψ(0)∣ψ(t)⟩∣2\mathcal F(t)=|\langle\psi(0)|\psi(t)\rangle|^2

这个保真度只能从模型算出：只靠位置探测，拿不到测量它所需的相位。单站初态即使质心不动，分布也会一张一缩地呼吸。

常见难点

有限的观察说明不了无限系统

容易误解窄波包证明了无限系统的相。

正确理解观察时间有限，链长有限，结果还依赖具体样本。这里不推断局域长度、迁移率边或多体相。

模型只有一个能带

容易误解这里大力下的结果，放到真实光晶格里，任意强度都适用。

正确理解模型没有第二个能带。真实装置里，原子可能漏到更高的能带；没有给定能隙，就不给出力的定量适用范围。

动手实验

  1. 01

    先预测

    先对照前两组预设，再查看数据。

    你会看到： 每组预设带有 200 次探测，都明确标为模拟数据。
  2. 02

    跟着时间走

    拖动时间或概率图，采集 17 个时刻。

    你会看到： 回放不改动数据，也不增加试次。扫描在每个时刻都用一个独立制备的原子。
  3. 03

    检验解释

    保存后改变无序样本或初始宽度，再次扫描并导出原始记录。

    你会看到： 保存的样本保留原来的设置。漏检的记录导出时不带站点。

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