把被挡住的光一片片加起来

定义观测者看到的圆盘

把恒星投影中心放在天空平面的原点，距离以恒星半径为单位，星盘半径便为一。不透明行星的半径比记为 $p=R_{\rm p}/R_\star$，两中心的投影距离记为 $z$。主凌星期间，行星位于恒星前面。

半径位置 $r$ 处，每单位投影面积送来的亮度记为 $I(r)$。小块 $\mathrm dA$ 贡献 $I(r)\mathrm dA$；在整个星盘上相加，得到主星基线光量，只在被挡处相加，得到损失。

若亮度处处相同，就能约掉。行星完整落在星盘内时，损失比例为 $p^2$，并不要求路径居中。部分重叠时，包括擦边凌星的中心时刻，分子对应两圆交出的透镜形区域。

对应阅读：Mandel & Agol 2002, Analytic Lightcurves, arXiv v1

给亮度一个径向分布

球形光球面上，定义 $\mu=\sqrt{1-r^2}$，即当地法线与视线夹角的余弦。二次临边律采用两个无量纲系数：

展开括号，得到常数项、正比于 $\mu$ 的项和正比于 $\mu^2$ 的项。半径 $r$、宽度 $\mathrm dr$ 的窄环面积为 $2\pi r\mathrm dr$，整盘便化成一圈圈相加。

需要的三个积分是 $\int_0^1 r\mathrm dr=1/2$、$\int_0^1 r\sqrt{1-r^2}\mathrm dr=1/3$ 和 $\int_0^1 r(1-r^2)\mathrm dr=1/4$。中间一个可令 $q=1-r^2$，于是 $\mathrm dq=-2r\mathrm dr$。代回各项，得到：

亮度必须保持为正。一组方便的有限取值是两个系数均非负、总和小于一，此时亮度向边缘下降且不会变负。若采用更广的系数组合，需要另外检验亮度与导数。

对应阅读：Mandel & Agol 2002, Analytic Lightcurves, arXiv v1 · batman author tutorial and pinned package 2.5.3

每一圈只积分被挡住的弧

行星中心偏离 $z$ 时，只遮住某些环带的一段圆弧。两圆边界相交处满足余弦定理；部分覆盖环带的角宽为：

这个做法保留行星的有限大小，也适用于接触附近。把整片被挡区域当成同一亮度，是小半径比近似；用于较大或擦边天体时，要检验近似误差。

交互计算先平滑积分端点，再计算环带积分。独立参考采用 Mandel–Agol 的解析分段。行星边缘恰好穿过星盘中心时，下载结果还保留单独求值的特殊椭圆积分式与 Cartesian 面积积分，参考库在该点的原始失败值也仍在。

对应阅读：Mandel & Agol 2002, Analytic Lightcurves, arXiv v1

完整算例：遮住亮星心

取 $p=0.1$、$u_1=0.6$、$u_2=0$。整个星盘的平均亮度为 $0.8I(1)$；中央一小片比平均更亮，遮光应超过百分之一的面积极限。

居中行星遮住半径零至 $p$ 的完整环带。仍用上面的代换，可得：

下方默认结果表来自实际合成记录，列出相应参数与曝光窗。可以依次比较完整与擦边路径、长曝光和混入光。表中数字描述给定数值实验，不代表真实恒星大气律具有这样的精度。

对应阅读：Mandel & Agol 2002, Analytic Lightcurves, arXiv v1

先加伴星，再归一化

令恒定、未分辨的伴星光量，是未遮挡主星光量的 $c$ 倍。凌星内外都加上这份光，再相除：

均匀完整凌星中，$p=0.12$ 对应主星损失零点零一四四。若伴星送来等量光，测得的损失变为零点零零七二；直接开平方会得约零点零八四九。把伴星留在模型中，才会在这个理想例子里恢复零点一二。

任务管线可能已经修正拥挤混光，教程采用的 TESS PDCSAP 产品就做过。保留原始元数据很要紧；重复套一次修正，光变就会在没有新观测的情况下被改掉。

对应阅读：MAST TESS Data Product Overview · Morton et al. 2016, False Positive Probabilities, arXiv v1