用凌星时钟量一条弦

把圆轨道投影到天空

令 $A=a/R_\star$ ，表示以恒星半径衡量的轨道半长轴。圆轨道周期为 $P$ ，倾角为 $i$ ；侧向正好看见轨道时为直角。主凌星中心时刻记为 $t_0$ ，相位是 $\phi=2\pi(t-t_0)/P$ 。

横向沿经过方向，纵向与它垂直。把轨道圆按倾角旋转并投影，得到：

中心附近，路径看起来近似水平直线，横向速度也变化不大。上式保留圆轨道曲率。这样，持续时间对应明确轨道条件，而不只是随意滑动圆盘的速度。

x=A\sin\phi,\qquad y=b\cos\phi,\qquad b=A\cos i,\qquad z^2=A^2\sin^2\phi+b^2\cos^2\phi

冲击参数

b

是中心时刻两者投影中心的距离；主凌星只发生在行星位于恒星前方的半圈。

对应阅读：Mandel & Agol 2002, Analytic Lightcurves, arXiv v1 · Dawson & Johnson 2012, Photoeccentric Effect I, v3

找到四次接触

第一接触是两盘外切，满足 $z=1+p$ ；第四接触对应离开。行星能完整进盘时，第二、第三接触满足 $z=1-p$ 。擦边路径没有完整内凌时段。

先把距离改写成 $z^2=b^2+(A^2-b^2)\sin^2\phi$ ，再代外切条件，解出正的接触相位。乘 $P/(2\pi)$ 换成半段时间，最后加倍：

这个对称圆轨道模型的单次入凌时间为 $(T_{14}-T_{23})/2$ 。路径靠近边缘，总经过时间缩短，入凌和出凌所占比例也会改变。只量总宽度，比同时量这两种时间尺度丢失更多信息。

T_{14}=\frac P\pi\arcsin\sqrt{\frac{(1+p)^2-b^2}{A^2-b^2}}

凌星要求

b<1+p

。若

b<1-p

，把接触半径中的加号换成减号，得到

T_{23}

；否则完整内凌时间为零。

对应阅读：Mandel & Agol 2002, Analytic Lightcurves, arXiv v1 · Kipping 2010, Finite Integration Time, arXiv v1

完整算例：从几何算到分钟

取 $p=0.1$ 、 $b=0.5$ 、 $A=10$ 、 $P=3$ 天。外接触根号里的比例为 $0.96/99.75$ ，反正弦约为零点零九八三弧度。乘 $3/\pi$ ，得到 $T_{14}=0.09383$ 天，即二点二五二小时。

内接触换成 $0.56/99.75$ ，得到 $T_{23}=1.719$ 小时。每次入凌或出凌约十六分钟。若曝光三十分钟，一次测量就跨过比入凌更长的时段，用瞬时值描述它便不合适。

再把同一颗行星移到 $b=1.04$ 。外接触仍存在，内接触半径却小于路径偏离量，正确图像是擦边、没有完整内凌。若还对内接触式中的负数开平方，是用错了公式范围。

对应阅读：Mandel & Agol 2002, Analytic Lightcurves, arXiv v1

把轨道与引力接起来

Kepler 第三定律连接半长轴、周期与总质量。行星远轻于恒星时，可写 $M_\star=4\pi^2a^3/(GP^2)$ 。再除以恒星体积 $4\pi R_\star^3/3$ ，得到平均密度：

这个式子能在未分别求出恒星半径时给出密度尺度，却不给行星实际半径，后者仍需 $R_{\rm p}=pR_\star$ 。偏心轨道可能以另一种速度经过同一条弦，改变圆轨道拟合所推的密度；最后的原文导读再展开这个退化。

上面的合成算例给出约每立方米二千一百千克的圆轨道条件密度。它的轨道参数是人为给定的。后面真实 TESS 拟合得到另一组条件数值，两者不是对同一系统的两次观测。

\rho_{\rm circ}=\frac{3\pi}{GP^2}\left(\frac a{R_\star}\right)^3

周期用秒，配 SI 引力常数，密度便为千克每立方米。下标提醒我们，这里假设圆轨道。

对应阅读：Dawson & Johnson 2012, Photoeccentric Effect I, v3 · Maxted et al. 2016, Five WASP-South Planets, arXiv v1

比较之前，先平均一次曝光

一次曝光记录时间戳附近的一段加权光量。简单的均匀窗近似写成：

数值积分也要检查分辨率，接触附近尤其如此。交互计算保存了固定积分与更密独立时间平均的比较；真实教程另外细化两分钟窗。TESS 的积光和读出元数据仍保留，因为机载取样并不等同于连续打开快门。

长曝光磨圆凹口两肩。若忽略它，拟合可能改动路径与轨道尺度，把两肩磨圆。这是测量模型不同造成的参数偏移，曲线画得顺滑也解决不了。

\overline F(t_j)=\frac1{\Delta t}\int_{t_j-\Delta t/2}^{t_j+\Delta t/2} F(t)\,\mathrm dt

先平均预测光量，再与观测点比较。增加模型采样密度，与改变仪器曝光时长，是两件事。

对应阅读：Kipping 2010, Finite Integration Time, arXiv v1 · TESS Science Data Products Description, Revision F

拟合光量，保留不确定性的形状

观测归一化通量为 $f_j$ ，来源给的逐点标准误差为 $s_j$ 。在给定独立高斯误差假设下，拟合最小化：

半径、路径与临边亮度能彼此补偿。剖面法先固定一个冲击参数，重新拟合其余参数，再记下目标值升高多少。这样能看见几种相近形状连成的脊，以及哪些参数一起改变。

这个对称描述中的冲击参数不能为负。最佳值落在零时，一根向两侧等量延伸的误差棒会误导。应保留完整剖面，交代固定的亮度、混光与噪声假设；残差相关和其他光源模型，还需要后续检验。

\chi^2=\sum_j\left[\frac{f_j-\overline F(t_j;\boldsymbol\theta)}{s_j}\right]^2

参数包括半径比、路径、轨道尺度与时刻；实际教程还拟合局部基线。这个目标本身带有误差模型假设。

对应阅读：Dawson & Johnson 2012, Photoeccentric Effect I, v3 · TESS Science Data Products Description, Revision F

用凌星时钟量一条弦

把圆轨道投影到天空

找到四次接触

完整算例：从几何算到分钟

把轨道与引力接起来

比较之前，先平均一次曝光

拟合光量，保留不确定性的形状

练习与解释性答案

动手检验预测

比较两种凌星时钟

来源与计算范围