把凌星持续时间当作速度计

先拿到弦长与周期

经过时间短，可能因为弦短，也可能因为走得快。仅靠总持续时间，不能分开两者。入凌与完整内凌时段帮助约束路径；独立恒星密度则给测得周期配上轨道尺度。

光度偏心效应论文第2节，把这些观测组合成速度因子。其近似把一次短凌星中的速度看成大致恒定，适用范围也限于这段短暂经过。

偏心率记为 $e$ ，近心点幅角记为 $\omega$ ，采用原文约定：在近心点凌星时 $\omega=90^\circ$ ，远心点凌星时 $\omega=-90^\circ$ 。相对圆轨道的速度因子为：

g(e,\omega)=\frac{1+e\sin\omega}{\sqrt{1-e^2}}

相同弦路上，

g

越大，经过越快、持续越短；方向约定决定正弦项的符号。

圆轨道拟合会把更快的经过，解释成同周期下更大的无量纲轨道尺度。在短凌星近似中，尺度多一个 $g$ 因子。Kepler 密度又正比于尺度的立方，于是得到原文式6：

要让差别有解释力，先得把光变测量描述好。漏掉曝光平均、临边律不合适、混光或主星认错，都能改变拟合形状与轨道尺度。真实 TESS 教程保留的是条件圆轨道密度；要测偏心率，还得补上恒星信息和这些模型检验。

例如，拟合圆轨道密度是独立恒星密度的三点三七五倍，便有 $g=1.5$ 。这说明短凌星速度因子高于圆轨道预期，但一个式子里仍留着两个轨道参数。

\rho_{\rm circ}=g^3\rho_\star,\qquad g=\left(\frac{\rho_{\rm circ}}{\rho_\star}\right)^{1/3}

前一项来自按圆轨道解释的光变，后一项是独立恒星密度；关系保留原文的轨道及可忽略行星质量等近似。

近心点的因子化成 $\sqrt{(1+e)/(1-e)}$ 。对给定 $g>1$ ，解出能达到它的最小偏心率：

取 $g=1.5$ ，最低为 $e=0.3846$ ，对应近心点经过。还可以取 $e=0.6$ ，根号分母为零点八，需要 $1+0.6\sin\omega=1.2$ ，即 $\sin\omega=1/3$ 。方向约十九点五度或一百六十点五度，都给出同样因子。

就算 $g=1$ ，代数上也不强迫圆轨道。非零偏心率搭配合适方向，同样可以满足。哪些轨道更合理，是接下来的概率问题，持续时间没有暗中多提供一条方程。

e_{\min}=\frac{g^2-1}{g^2+1}

这是与近似速度因子相容的偏心率下边缘。下一节再加入概率权重。

图2展示给定速度因子与误差下，模拟的偏心率—方向后验。先认横纵轴，再看等高线所包的概率和两种轨道尺度。它们是原文条件下的示例后验计算，不是对同一颗行星反复测量。

弯曲区域沿着偏心率与方向的关系展开，但里面的概率权重还取决于先验，以及什么轨道会凌星。只从方程画一条几何曲线，还没有这些权重。

速度因子与一相容时，原文在给各种排布加权后，可以偏好低偏心率。这与某些更高偏心率方向在代数上存在，并不冲突。存在、相对概率和实测区间，是不同输出。

图3改变独立恒星密度误差。立方根减弱其对速度因子的影响：若圆轨道密度已量得更精确，小幅恒星密度相对误差，对 $g$ 的相对贡献约缩为三分之一。再变换成偏心率后，完整联合不确定性未必对称。

对照第3.2节读取等高线。贝叶斯构造还纳入其他凌星参数，并要求轨道能产生已观测到的凌星；单个最优点附近的最小二乘曲率，不能独自描述弯曲或贴边的后验。

应用到新目标时，记下恒星密度出处、曝光模型、临边和混光假设、偏心率与方向先验，以及凌星选择的处理。再说直接约束的到底是持续时间、圆轨道密度、速度因子，还是轨道参数后验。这样才能逐步检查光度偏心推断。