O014 · 行星从恒星前面经过

日食与凌星测光

星光少了一小口，能看出行星有多大吗？ 凌星测的是前景天体挡住多少星光。把深度换成大小，还要知道星盘明暗、经过路径、曝光和混入的光；实际行星半径另需恒星半径。同一套重叠几何也解释日食接触与影锥。

拖动行星穿过发光星盘的路径，比较完整与擦边凌星、有限曝光和近邻恒星混光，再回到日食影锥几何。

当前曝光的总光通量 $0.99$

中心时刻深度 · 百万分比 $17000$

第一至第四接触 · 小时 $3.3$

圆轨道条件密度 · 千克每立方米 $900$

移动行星路径

行星与恒星半径比

0.12

p=R_{\rm p}/R_\star

路径偏离星心

0.35

b\;[R_\star]

临边昏暗一阶项

0.45

u_1

曝光时间窗

120

\Delta t\;[\mathrm s]

伴星与主星光量比

0

c=F_{\rm cont}/F_{\star,0}

上下拖动行星改变路径，横向拖动选择经过的时刻。

轨道、亮度与模型范围

临边昏暗二阶项

0.2

u_2

轨道与恒星半径比

8

a/R_\star

轨道周期

3.2888

P\;[\mathrm d]

两个临边系数保持星盘亮度为正并向边缘变暗。改变路径会计算新的合成光变；显示的密度以圆轨道、可忽略行星质量为前提。

阅读凌星课程，拟合真实 TESS 观测

模型假设

凌星采用圆轨道上的不透明圆形行星，恒星为球形，表面亮度沿半径按二次临边昏暗律变化。环带积分给出主星光通量，均匀时间窗给出有限曝光，恒定未分辨伴星稀释同一通量。由圆轨道推得的密度还假设行星质量可忽略；实际行星半径另需恒星半径。不计算星斑、大气、偏心轨道、探测器噪声或双星鉴别。影锥与日食视图保留视圆盘精确重叠和公切线几何，轴向距离压缩，天体放大。真实 TESS 观测只在独立固定输入教程中拟合，保留质量标志、来源误差和条件假设。

合成圆轨道凌星、有限曝光与恒定混入光。

青色：含伴星的曝光记录；琥珀虚线：主星瞬时参考。

积分与显示约定

星盘采用与通量积分相同的径向亮度律，颜色与外侧辉光为示意。行星细轮廓标出曝光期间扫过的距离，不代表额外行星。伴星角距离和图标大小为示意，光量比明确给定。回放沿可见经过范围运行；曲线还包含完整曝光延伸及两侧基线。

两种日食几何视图保留视圆盘重叠与切线影区边界，不含地形、大气折射、日冕辐亮度和衍射；轴向距离压缩，天体放大。

先抓重点

核心问题: 光变很浅，行星就一定很小吗？
一句话直觉: 深度测的是被挡的亮度；几何和光源条件把它换成大小。

核心数学模型

均匀盘的居中遮挡

\delta=p^2,\qquad p=R_{\rm p}/R_\star

这个面积极限用于完整落在亮度均匀星盘内的行星。

按被挡面积加权的亮度

F_\star=1-\frac{\int_{\rm blocked}I\,\mathrm dA}{\int_{\rm disk}I\,\mathrm dA}

星心附近与边缘，单位面积未必发出同样多的光。

平均曝光与混光

\overline F_{\rm obs}=\frac{\Delta t^{-1}\int F_\star(t)\,\mathrm dt+c}{1+c}

积分跨一次曝光；恒定伴星光量比以未遮挡主星为基准。

常见难点

擦边经过的行星

容易误解每颗行星在凌星中心都会挡住完整圆盘面积。

正确理解擦边路径让部分行星留在星盘之外，最深时也可能只有部分重叠。

拟合成功之后

容易误解行星曲线拟合得好，就确认信号来自行星。

正确理解混入的食双星和恒星表面结构还需别的检验；光变拟合是在给定天体与光源模型下进行。

动手实验

01
移动弦路
上下拖动行星，从靠近星心移向边缘。
你会看到： 经过时间缩短，还会转为擦边；半径相同，深度未必相同。
02
看快门怎样平均
选择“一次长曝光”，比较青色曲线与琥珀色瞬时参考。
你会看到： 入凌与出凌被时间窗平滑，细轮廓扫过的路径对应同一时段。
03
加入伴星
选择“混入明亮伴星”，再降低光量比，保持行星不变。
你会看到： 混入光减少，归一化的凹口加深。
04
回到日食几何
切换影锥与日食视图，移动前景天体。
你会看到： 同一套视圆盘接触，把可见光通量与切线影区边界连起来。

日食与凌星测光

按顺序读一颗变暗的恒星

核心数学模型

均匀盘的居中遮挡

按被挡面积加权的亮度

平均曝光与混光

常见难点

擦边经过的行星

拟合成功之后

动手实验

移动弦路

看快门怎样平均

加入伴星

回到日食几何

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