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Sandbox Physics

光学 014 · 光线世界、界面与自然光学

日食与凌日影锥观测站

深空影锥观测站由精确公切线推导本影、半影与伪本影，再用视圆盘解析重叠闭合整套几何。第一场对比点光源锐利影锥与有限光源影；日食场把 IAU 与 NASA 尺度映射为全食、偏食与环食视图；凌日场则把同一重叠转换为实时归一化光变曲线。

交互模型日食与凌日影锥观测站
视半径比或反演尺度 qq0.500.50
遮蔽率或可见光通量 O\mathcal O50%50\%
接触与影区审查 C\mathcal C0.00π0.00\pi
模型适用区间模型适用\text{模型适用}

物理教程

审查日食与凌日影锥观测站的物理过程

背景掩食由观测者在天球上测得的量决定，而不是比较舞台上两个未经标定的球。把光源、遮挡体的视角半径及其视圆心角分离归一化为 q=αoαs,z=δαsq=\frac{\alpha_{\mathrm o}}{\alpha_{\mathrm s}},\qquad z=\frac{\delta}{\alpha_{\mathrm s}}。这两个无量纲量会同步驱动天球视圆盘、前景天体的物理位移、接触状态标签与全部光通量读数。

为什么值得理解两个实测视圆盘如何用同一套几何生成点光源锐利影、本影、半影、伪本影、日食接触与凌日光变？

先抓重点

核心问题
两个实测视圆盘如何用同一套几何生成点光源锐利影、本影、半影、伪本影、日食接触与凌日光变？
一句话直觉
对于圆形视圆盘，两条接触阈值是精确的：初亏与复圆发生在两半径之和，食既与生光发生在两半径之差的绝对值，因此归一化边界为 z=1+q,z=∣1−q∣z=1+q,\qquad z=\lvert1-q\rvert。进入内接触边界后，较大的遮挡视圆盘产生全食，较小者产生环食；两条边界之间则为偏食。

核心数学模型

本影、伪本影与半影半径

ru(x)=Ro−Rs−RoDx,rp(x)=Ro+Rs+RoDx,xapex=DRoRs−Ror_{\mathrm u}(x)=R_{\mathrm o}-\frac{R_{\mathrm s}-R_{\mathrm o}}{D}x,\qquad r_{\mathrm p}(x)=R_{\mathrm o}+\frac{R_{\mathrm s}+R_{\mathrm o}}{D}x,\qquad x_{\mathrm apex}=\frac{D R_{\mathrm o}}{R_{\mathrm s}-R_{\mathrm o}}

相似三角形给出同轴截面。带符号的内影半径在本影锥尖处归零；越过锥尖后，其负值的绝对值就是伪本影半径。三维画面则由相应的精确公切线生成，而不是直接套用这幅二维简图。

精确视圆盘重叠与光通量

Aov={0,z≥1+q,πmin⁡(1,q)2,z≤∣1−q∣,cos⁡−1 ⁣(z2+1−q22z)+q2cos⁡−1 ⁣(z2+q2−12zq)−12(−z+1+q)(z+1−q)(z−1+q)(z+1+q),otherwise,FF0=1−AovπA_{\mathrm{ov}}=\begin{cases}0,&z\ge 1+q,\\[2pt]\pi\min(1,q)^2,&z\le\lvert1-q\rvert,\\[2pt]\cos^{-1}\!\left(\frac{z^2+1-q^2}{2z}\right)+q^2\cos^{-1}\!\left(\frac{z^2+q^2-1}{2zq}\right)-\frac12\sqrt{(-z+1+q)(z+1-q)(z-1+q)(z+1+q)},&\text{otherwise},\end{cases}\qquad \frac{F}{F_0}=1-\frac{A_{\mathrm{ov}}}{\pi}

重叠月牙以单位光源半径解析计算。除以光源圆盘面积得到遮蔽率，再从一中扣除便得到均匀亮度光源的可见光通量；实时测光曲线正是从同一个函数采样。

角尺度标定与太阳预设

α=sin⁡−1 ⁣(Rd),dM=RMsin⁡(qα⊙),δ0=(RpR⋆)2  (Rp<R⋆)\alpha=\sin^{-1}\!\left(\frac{R}{d}\right),\qquad d_{\mathrm M}=\frac{R_{\mathrm M}}{\sin(q\alpha_{\odot})},\qquad \delta_0=\left(\frac{R_{\mathrm p}}{R_\star}\right)^2\ \ (R_{\mathrm p}<R_\star)

日食场景利用 IAU 标称太阳半径、NASA 月球半径与平均日地距离，从指定视半径比反演地月距离。凌日场景中的半径比平方深度只在居中且恒星亮度均匀的极限下成立。

常见难点

认为所有阴影边缘都严格锐利

容易误解不透明物体会完全挡住每条光线，因此有限大发光源也必然像点光源一样只产生一个边缘锐利的暗锥。

正确理解不透明性决定被截获光线的命运，光源尺度则决定还有多少光源点可见。外公切线与内公切线把完全不可见、部分可见与无遮挡区域分开，从而产生本影、半影和伪本影；只有点光源极限才只有一条锐利影界。

动手实验

  1. 01

    场景 1：点光源与有限光源影锥解剖

    先进入影锥解剖。环绕半透明体积观察，拖动不透明球越过光轴，并区分金色点光源影锥与有限光源的两组切线。找到内影锥尖，并观察带符号半径读数怎样从本影跨入伪本影。

    应该观察到： 点光源极限只有一个切线锥，不存在半影。光源一旦具有有限角尺寸，边界便分裂为内外两族；位于两者之间的观察点只能看到发光圆盘的一部分。
  2. 02

    场景 2：日—月—地全食与环食

    切换到日—月—地场景。把视半径比调到略大于一和略小于一并对准两圆盘，对比全食与环食；再增大圆心分离，依次跨越内接触与外接触，同时观察反演地月距离和地表带符号本影。

    应该观察到： 当两个视半径接近相等时，很小的距离变化就能让中心食在全食与环食之间切换，即使天体物理半径保持不变。决定性比较是角尺度，舞台压缩并不参与该计算。
  3. 03

    场景 3：系外行星凌日测光

    进入凌日测光。选择较小行星，把它从入凌前拖过凌日中心直到出凌后，并把天球平面的重叠形状与光变曲线上的移动标记对应起来；在严格居中时，将测得深度与半径比平方比较。

    应该观察到： 在均匀恒星模型中，入凌与出凌曲线并非直线，因为圆盘重叠面积对圆心分离是非线性的。边缘变暗会重塑曲线，因此本实验把它明确列为排除效应，而不是悄悄近似。