潮汐怎样把星团拉成星流？

在星团旁边比较两份引力

星团中心与一颗边缘恒星都被银河吸引。决定它们能否继续同行的，是两处加速度之差，而不是银河引力本身有多大。站在跟随星团转动的坐标系中，还要计入离心效应。

取球对称宿主中的圆轨道，半径为 $R$ ，角速度为 $\Omega$ ，径向小振动频率为 $\kappa$ ，星团质量为 $m_c$ 。星团远小于轨道半径，才可作局部展开。

沿径向挪开一个很小距离 $x$ 。银河径向加速度的一阶差是 $-\Phi_h^{\prime\prime}(R)x$ ，旋转系的离心差是 $+\Omega^2x$ 。局部向外系数因此为 $\Omega^2-\Phi_h^{\prime\prime}=4\Omega^2-\kappa^2$ ，与星团向内吸引 $Gm_c/x^2$ 平衡，就得到下式。

r_t^3=\frac{Gm_c}{4\Omega^2-\kappa^2}

这是圆轨道局部潮汐尺度，分母必须为正。偏心轨道还需要考虑沿途变化的潮汐场。

对应阅读：Erkal & Belokurov (2015), Forensics of Subhalo-Stream Encounters, arXiv:1412.6035v2 · Sandbox Physics standalone stellar-stream scientific reader v1

例题：一万太阳质量的星团

圆周速率近似恒定时，半径越大，绕转角速度越小；同一半径上的径向小振动频率比绕转角速度高。把这项关系代入潮汐尺度，才得到具体长度。

计算采用天文单位下的引力常数 $G=4.30091\times10^{-6}\,\mathrm{kpc}\,(\mathrm{km\,s^{-1}})^2M_\odot^{-1}$ ，这样千秒差距、千米每秒与太阳质量可直接放进同一式中。

\Omega=\frac{v_c}{R},\qquad\kappa^2=R\frac{d\Omega^2}{dR}+4\Omega^2=2\Omega^2

“平坦”指圆周速率不随半径变，不是角速度不变。

r_t=\left(\frac{Gm_cR^2}{2v_c^2}\right)^{1/3}\simeq46.4\,\mathrm{pc}

代入

m_c=10^4M_\odot

、

R=15\,\mathrm{kpc}

、

v_c=220\,\mathrm{km\,s^{-1}}

。这项圆轨道估算对应一个假想星团；交互实验从已经准备好的星群小弧开始。

对应阅读：Erkal & Belokurov (2015), Forensics of Subhalo-Stream Encounters, arXiv:1412.6035v2 · Sandbox Physics standalone stellar-stream scientific reader v1

径向小振动的频率从哪里来？

固定球对称势中，角动量守恒。若只求半径怎样变化，可以把切向运动的影响写进有效势的离心项；这不是又加了一份物理质量。这段径向推导把该恒星的轨道平面选作前两轴构成的平面，第三轴沿角动量方向；式中的法向角动量就是总角动量的大小。这里的半径是这个轨道面内到中心的距离，法向角动量不能换成任意倾斜轨道在实验参考轴上的分量。

在圆形引导轨道半径 $R_g$ 处，有效势的一阶径向导数为零。保持同一角动量，把半径挪开一点，一阶展开的径向力就是恢复力；有效势曲率给出小振动频率的平方。

这解释了潮汐尺度为什么同时出现两种时钟：一项管绕中心转一圈，另一项管半径一进一退。它们在某些特殊势中相同，平坦圆周速率宿主里则不同。

\Phi_{\rm eff}(R)=\Phi_h(R)+\frac{L_z^2}{2R^2},\qquad\kappa^2=\Phi_h^{\prime\prime}(R_g)+3\Omega^2

圆轨道条件是宿主径向力与离心项平衡；围绕该条件展开，便得到上面使用的径向频率。

对应阅读：Erkal & Belokurov (2015), Forensics of Subhalo-Stream Encounters, arXiv:1412.6035v2 · Sandbox Physics standalone stellar-stream scientific reader v1

同一位置，可以藏着不同的未来

两颗恒星眼下挨在一起，一颗稍快、一颗稍慢，未来会分离。要判断未来怎样分开，还需要它们的速度。把位置与相应动量放在一起，就是相空间。采用惯性笛卡尔坐标时，单位质量动量等于速度。

无碰撞的哈密顿运动能拉长、折叠一小团相空间，却保持其相空间体积。天空上一维计数变稀并不违反这件事：投影掉速度和其他方向以后，形状与数量分布都可以改变。

图左的椭圆是一个谐振子在位置—速度平面中的轨道，不是恒星在空间里的椭圆。两种图的坐标含义要先分清。

左图以位置和速度为轴画谐振子椭圆，右图比较两条近圆轨道随时间积累的角位置。 — 左图比较位置与速度，闭合椭圆描述谐振子的相空间运动；右图比较两条近圆参考轨道随时间积累的相位。两幅都是解析图。

对应阅读：Erkal & Belokurov (2015), Forensics of Subhalo-Stream Encounters, arXiv:1412.6035v2 · Sandbox Physics standalone stellar-stream scientific reader v1

作用量记振幅，角变量记走到了哪里

周期运动可以用相空间轨道围住的面积描述振幅，这就是作用量。另一种变量记在一周期里走到了哪一步，称为角变量；它不必等于空间中看到的方位角。

J=\frac1{2\pi}\oint p\,dq,\qquad J_{\rm harmonic}=\frac E\omega

谐振子的作用量是椭圆面积除以整周角度；频率不变时，能量越高，面积越大。

\theta(t)=\theta(0)+\Omega(J)t

在可积、固定势的相应作用量—角变量中，作用量不变，角变量以相应频率积累。本实验没有对真实GD-1反演作用量。

对应阅读：Erkal & Belokurov (2015), Forensics of Subhalo-Stream Encounters, arXiv:1412.6035v2 · Sandbox Physics standalone stellar-stream scientific reader v1

例题：各偏离基准百分之一，怎样越拉越长？

近圆轨道有 $L_z=R_gv_c$ ，引导半径与角动量对应。取长度和速度单位都为一，两条轨道分别有 $L_z=0.99$ 和 $L_z=1.01$ 。经过八个时间单位，相位差如下。

\Omega=\frac{v_c^2}{L_z},\qquad\theta_{1.01}-\theta_{0.99}=8\left(\frac1{1.01}-\frac1{0.99}\right)\simeq-0.160\,\mathrm{rad}

较大角动量的一条落后约九点二度。这里采用近圆引导中心关系，一般偏心轨道需要自己的作用量与频率。

对应阅读：Erkal & Belokurov (2015), Forensics of Subhalo-Stream Encounters, arXiv:1412.6035v2 · Sandbox Physics standalone stellar-stream scientific reader v1

与实验里的那段星群对上

交互实验给定一百九十二颗星的位置与速度，每颗走自己的三维轨道。它省略脱离星团的过程，不能拿最早一帧验证潮汐半径；它保留的是一个已有轨道分布怎样响应外来的引力。

公开程序另用高阶自适应积分，从相邻两次径向最大值量出小振动周期，与解析频率比较。必须隔着整个振动周期：近心点到远心点通常只是半周期。

对应阅读：Erkal & Belokurov (2015), Forensics of Subhalo-Stream Encounters, arXiv:1412.6035v2 · Sandbox Physics standalone stellar-stream scientific reader v1

潮汐怎样把星团拉成星流？

在星团旁边比较两份引力

例题：一万太阳质量的星团

径向小振动的频率从哪里来？

同一位置，可以藏着不同的未来

作用量记振幅，角变量记走到了哪里

例题：各偏离基准百分之一，怎样越拉越长？

与实验里的那段星群对上

练习与解释性答案

动手检验预测

跟踪两颗邻近恒星的轨道

来源与计算范围