把三维星流投到天空，再谈拟合

三个投影，不能直接拼成六维

星流坐标用 $\phi_1$ 沿带延伸， $\phi_2$ 横跨主带。Valluri固定产品有七百一十五个沿流位置，分别配横向角位置与两个自行分量。三份原始经度数组逐项相同，可以配成这三个投影量。

但这不等于每一点都有距离、径向速度、误差和协方差。另一张二百六十一行DESI表是不同的光谱区域样本；没有可用的共同身份依据，就不能按行号把径向速度接到七百一十五点上。

沿经度自行采用带余弦的定义。纬度越高，同样经度变化对应的实际天空弧长越短。若漏掉这个因子，投影速度会系统性错。

\mu_{\phi_1*}=\dot\phi_1\cos\phi_2,\qquad v_{\phi_1}=4.74047\,d\mu_{\phi_1*}

距离用千秒差距，自行用毫角秒每年，沿经度切向的速度分量就用千米每秒；跨带分量同理。要得到总横向速度，还要合成这两个正交分量。

在纬度六十度处，经度每年变化两毫角秒，对应的带余弦自行只有一毫角秒每年。若距离为八千秒差距，沿经度切向速度分量约三十七点九千米每秒。若把两毫角秒直接代入，会得到约七十五点八，足足大一倍。另一方面，距离翻倍而角自行不变，横向速度也翻倍；这就留下了距离与物理速度的退化，需要独立距离信息才能分开。

太阳自身的运动投影到天球上，会给恒星叠加一项视运动，称为太阳反射运动。原七百一十五点的产品已经使用原文距离轨迹作过太阳反射校正。比较模型时，必须按同一约定投影，不能把校正再做一次，也不能悄悄换成每次优化出的模型距离。

本教程采用官方固定版本GD-1旋转矩阵，并保留其发表的小数精度；不拿观测点重新拟合一个更好看的旋转。正反变换的微小舍入，与原DESI表中大得多的坐标不一致分列。两种来源的差异分别保留，下一项该核实哪段源定义也更清楚。

\mathrm{DM}_{\rm ref}=18.82+\left(\frac{\phi_{1,\rm deg}+50}{64}\right)^2-4.45,\qquad d_{\rm ref}=10^{(\mathrm{DM}_{\rm ref}-10)/5}\,\mathrm{kpc}

原文参考距离的固定关系；沿流经度代入度数值，距离模数是把距离写成对数的星等记法，再由它转成千秒差距。锚点经度负三十五度处约为七点六七三千秒差距，仍与优化的模型距离分开。

我们先自造一份保存的投影测量，隐藏真值，让拟合器只消费保存结果。从附近初值开始，固定宿主中的轨道能重新预测留出的角位置与自行，这检验的是有限条件下计算链是否接通。

再换真实产品。用沿流经度分块留出，避免训练点与验证点只是紧邻的重复信息；所有点保留，不靠删掉难看的数据改善分数。一个三次多项式也在相同训练块上拟合，作为描述性对照。

真实比较中，训练选出的轨道在留出数据上的工作尺度损失约零点六零八，三次曲线约零点四四五；其中横跨星流自行的残差尤其明显。数值积分很准确，并没有让一个过于简单的轨道模型自动成为好的星流模型。

对每个残差，除以一个事先声明的单位尺度，再使用Huber损失：小残差近似平方，大残差近似线性。角位置尺度为零点二度，自行各为零点五毫角秒每年。这是在决定比较各项的相对权重，不是在补造源产品缺失的误差。

\ell(r)=\begin{cases}r^2/2,&|r|\le2,\\2(|r|-1),&|r|>2,\end{cases}\qquad\mathcal L=\frac1{N_{\rm train}}\sum_i\sum_j\ell\!\left(\frac{y_{ij}^{\rm model}-y_{ij}^{\rm source}}{s_j}\right)

样本指标对应不同经度点，分量指标对应横向角位置与两个自行；每个分量先除以自己的工作尺度，再对训练点取平均。没有完整误差与选择模型，这项损失不能当作校准卡方，优化器曲率也不能制造可信后验。