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Sandbox Physics
星流、引力掠过与观测投影

星流与掠过 · L2

从一次引力掠过，到很久以后的缺口

Sandbox Physics ·

掠过先留下一份随位置变化的速度改动。恒星在宿主引力中继续绕行，这份改动才慢慢显出缺口。先积分短促的受力过程，再跟踪之后的轨道，两步缺一不可。

把几何固定下来

取银河中心为原点的右手惯性坐标。名义相遇时参考星位于(R0,0,0)(R_0,0,0)，沿正向第二轴运动。取R0=15 kpcR_0=15\,\mathrm{kpc}、v0=220 km s−1v_0=220\,\mathrm{km\,s^{-1}}，时间单位约六千六百七十万年。

归一化后，规定天体位置为rp(t)=(1+Wt,t,b)\mathbf r_p(t)=(1+Wt,t,b)。它与参考星的第二轴速度相同，沿第一轴的相对速度为WW，第三轴偏置为bb。这条路径不受恒星反作用。

Plummer势用平滑尺度aa描述扰动体的空间大小，中心势仍有限；它不是硬球的表面半径。MM是规定扰动体的总质量，势与单位质量能量按速度单位的平方计。

t0=R0v0≃66.7 Myr,Tcircle=2πt0≃419 Myrt_0=\frac{R_0}{v_0}\simeq66.7\,\mathrm{Myr},\qquad T_{\rm circle}=2\pi t_0\simeq419\,\mathrm{Myr}
时间单位是参考长度除以速度；无扰动宿主中，参考半径处绕完整一圈还要乘整周角度，不能把两者混作一个周期。
Φ(r,t)=ln⁡∣r∣−μ∣r−rp(t)∣2+a2,μ=GMR0v02\Phi(\mathbf r,t)=\ln|\mathbf r|-\frac{\mu}{\sqrt{|\mathbf r-\mathbf r_p(t)|^2+a^2}},\qquad\mu=\frac{GM}{R_0v_0^2}
第一项是球对称对数宿主，第二项是平滑Plummer扰动；位置、尺度均已归一化。

对应阅读：Erkal & Belokurov (2015), Forensics of Subhalo-Stream Encounters, arXiv:1412.6035v2 · Sandbox Physics standalone stellar-stream scientific reader v1

先解一个可以手算的短促极限

只在相遇期间，将星流近似为沿第二轴匀速平移的直线，恒星相对最近相遇点的坐标为yy。若相遇短、踢动小，积分力就得到冲量近似。第一轴的奇函数贡献相消。

下面的冲量积分切回有量纲量，积分变量tt改指物理相遇时间。偏移、平滑尺度与路径路程用千秒差距，相对速度用千米每秒；相乘时采用相容的长度、时间单位。

∫−∞∞dt(W2t2+C2)3/2=2WC2,C2=y2+b2+a2\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dt}{(W^2t^2+C^2)^{3/2}}=\frac{2}{WC^2},\qquad C^2=y^2+b^2+a^2
令无量纲积分变量为相对路程除以横向尺度，或直接对标准原函数求两端极限；再分别乘上沿流和垂向力的分子，就得到下面的速度踢。
Δvy=−2GMyW(y2+b2+a2),Δvz=2GMbW(y2+b2+a2)\Delta v_y=-\frac{2GMy}{W(y^2+b^2+a^2)},\qquad\Delta v_z=\frac{2GMb}{W(y^2+b^2+a^2)}
本式使用有量纲长度、质量与速度。正第二轴一侧被拉回，正第三轴偏置把星拉向正第三轴；这两项分量属于刚定义的相遇几何，换方向要重新投影力。

对应阅读：Erkal & Belokurov (2015), Forensics of Subhalo-Stream Encounters, arXiv:1412.6035v2 · Sandbox Physics standalone stellar-stream scientific reader v1

完整例题：两种方向的一脚

取三千万太阳质量，a=0.25 kpca=0.25\,\mathrm{kpc}、b=0.10 kpcb=0.10\,\mathrm{kpc}、W=200 km s−1W=200\,\mathrm{km\,s^{-1}}，考察y=0.30 kpcy=0.30\,\mathrm{kpc}处。分母中的长度平方和为零点一六二五平方千秒差距。

计算采用天文单位下的引力常数G=4.30091×10−6 kpc (km s−1)2M⊙−1G=4.30091\times10^{-6}\,\mathrm{kpc}\,(\mathrm{km\,s^{-1}})^2M_\odot^{-1}，这样千秒差距、千米每秒与太阳质量可直接放进同一式中。

Δvy≃−2.38 km s−1,Δvz≃+0.794 km s−1\Delta v_y\simeq-2.38\,\mathrm{km\,s^{-1}},\qquad\Delta v_z\simeq+0.794\,\mathrm{km\,s^{-1}}
沿流改动的绝对值是垂向的三倍，因为沿流偏移是垂向偏置的三倍。符号来自天体拉向自己的方向。

对应阅读：Erkal & Belokurov (2015), Forensics of Subhalo-Stream Encounters, arXiv:1412.6035v2 · Sandbox Physics standalone stellar-stream scientific reader v1

为什么减速的一侧，后来反而领先？

在相遇结束后的近圆、平坦圆周速率近似中，沿流减速降低角动量与引导半径，提高平均角频率。它眼下退后一点，长期却更早绕完一圈；顺行加速的一侧相反。

圆轨道冷流推导把早期压缩、中期展开、晚期折叠分开。折叠后，同一位置可以有多组不同速度的恒星，密度必须累加全部分支，不能只取单值映射的一项。

δΩΩ≃−δvTvc,δθ≃δΩ t\frac{\delta\Omega}{\Omega}\simeq-\frac{\delta v_T}{v_c},\qquad\delta\theta\simeq\delta\Omega\,t
只保留小踢动的长期引导中心项，省去有界径向振动。例题的减速代入五亿年，长期近圆估计约为正四点六五度；完整轨迹还包含被省去的径向振动。

对应阅读：Erkal & Belokurov (2015), Forensics of Subhalo-Stream Encounters, arXiv:1412.6035v2 · Sandbox Physics standalone stellar-stream scientific reader v1

从一颗颗轨道，走到数量剖面

对理想的一维冷流，用ψ0\psi_0标记初始方位，ψ(ψ0,t)\psi(\psi_0,t)表示之后的共转方位。一个小区间前后包含同一批星，因此“每弧度数量乘角长度”保持不变。

例如把一小段均匀流拉成原来的两倍长，每弧度数量就减半；压成原来一半，则数量密度加倍。恒星总数没有改变，改变的是初始小段到最终小段的伸缩率，也就是映射的雅可比。

折叠以后，几段不同的初始区间可以落到同一位置，应把正的数量贡献都加起来。导数为零会产生冷极限中形式上发散的焦散；温暖速度分布和有限格宽会摊开这项奇异，所以实验实际报告有限恒星计数。

λ(ψ,t)=∑ψ0↦ψλ0(ψ0)∣∂ψ/∂ψ0∣\lambda(\psi,t)=\sum_{\psi_0\mapsto\psi}\frac{\lambda_0(\psi_0)}{\left|\partial\psi/\partial\psi_0\right|}
对所有到达该角位置的初始标签求和。这是一维理想冷流关系，与有限温暖星群逐颗计数分别使用。

对应阅读：Erkal & Belokurov (2015), Forensics of Subhalo-Stream Encounters, arXiv:1412.6035v2 · Sandbox Physics standalone stellar-stream scientific reader v1

实际积分为什么还值得做？

交互实验没有在相遇一刻直接套上速度踢，而是在移动Plummer力场里逐步积分。恒星在受力期间也运动，宿主一直施力，这能检验瞬时近似漏了多少。

原四个有限比较把相遇后约一千六百七十万年起的保存状态归为晚期。瞬时与完整轨迹的最大位置差，除以完整掠过相对无扰动对照的峰值位置扰动，约为百分之九到十四；速度用同样定义，约百分之十到十六。分母是扰动信号，不是整个轨道半径或恒星总速度。它描述两种物理近似的差异，不是积分器误差或观测噪声。

公开程序用独立高阶积分、半步细化、冲量力积分与相空间体积检查数值。这份数值证据逐个对应二十五个登记点，其间位置的误差仍要另外验证。

ϵr=max⁡t≥0.25,j∥rjimpulse−rjfull∥max⁡t≥0.25,j∥rjfull−rjhost∥\epsilon_r=\frac{\max_{t\ge0.25,j}\left\|\mathbf r_j^{\rm impulse}-\mathbf r_j^{\rm full}\right\|}{\max_{t\ge0.25,j}\left\|\mathbf r_j^{\rm full}-\mathbf r_j^{\rm host}\right\|}
这里时间用本实验的归一化单位，最大值同时跨晚期时刻与恒星身份；速度比较把位置换成速度。上述四例是早先离线计算的比较结果，新公开包的默认步骤重算二十五例数值检验与冲量解析极限。

对应阅读：Erkal & Belokurov (2015), Forensics of Subhalo-Stream Encounters, arXiv:1412.6035v2 · Sandbox Physics standalone stellar-stream scientific reader v1

有外界做功，恒星能量就不必守恒

移动的规定势显式依赖时间，恒星系统并不封闭。不能看到能量改变就说算法错了，应比较它与外界做功。

在前面同一组归一化单位中，总能量为H=12∣v∣2+ΦH=\tfrac12|\mathbf v|^2+\Phi，包含动能与宿主、扰动体两项势能，均按单位恒星质量计。

保存的功与力矩积分让检验具体可做。若要知道掠过体的真实轨道、潮汐损失与反作用，必须另解那些方程。

dHdt=∂Φp∂t=Fp⋅vp,dLdt=r×Fp\frac{dH}{dt}=\frac{\partial\Phi_p}{\partial t}=\mathbf F_p\cdot\mathbf v_p,\qquad\frac{d\mathbf L}{dt}=\mathbf r\times\mathbf F_p
力、能量与角动量均按单位恒星质量计。右侧使用同一状态的扰动力与规定路径速度；没有求天体失去多少反冲能量。

对应阅读：Erkal & Belokurov (2015), Forensics of Subhalo-Stream Encounters, arXiv:1412.6035v2 · Sandbox Physics standalone stellar-stream scientific reader v1

练习与解释性答案

  1. 质量和相对速度同时增为两倍，固定几何的冲量变吗？

    展开解释

    短促极限中的质量与速度之比不变，速度踢不变。但有限时长过程的受力时间与宿主响应可能不同，完整积分不必严格相同。

  2. 某帧恒星能量增加，能否断定积分器不守恒？

    展开解释

    先算移动势的显式时间功项。只有能量变化扣除此功仍超过预定误差，才构成这里的收支失败；恒星与规定天体没有组成自洽封闭系统。

动手检验预测

比较短促踢动与实际掠过

  1. 比较紧致与快速掠过，先按短促公式预测，再查看同一晚期时刻。
  2. 拖动偏置物体，确认垂向响应与同一规定路径相连；别把显示放大当物理高度。
  3. 导出功、角动量与恒星状态，核对收支残差。

来源与计算范围

  1. Erkal & Belokurov (2015), Forensics of Subhalo-Stream Encounters, arXiv:1412.6035v2

    完整十四页已实际核读。第2—3节、式1—23推导短促相遇与圆轨道冷流，第4—6节比较模拟及物理退化；印刷页3、9已实际查看。规定温暖星群不冒充原文潮汐释放计算。

  2. Sandbox Physics standalone stellar-stream scientific reader v1

    自有Python新算二十五个有限点、独立高阶参照、半步、解析极限与保存计数。默认零网络，可选原件galpy练习保留拟合不足、不收敛、覆盖失败。ZIP不含交互引擎、完成轨道、原件或真实观测派生图。

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