沿着原图读懂行星半径谷

看低谷之前，先认出图里是哪群行星

先给每篇论文写一张来源卡：恒星母样本、行星筛选、参数测量方法，以及各坐标轴表示什么。曲线不能脱离允许进入图里的对象解释。

CKS论文使用筛选后的恒星和行星样本，碰撞参数筛选也进入几何修正。Ho等的宿主质量比较则使用参数测得较精确的短采样行星样本。两者都不是前篇DR25练习采用的早期Gaia更新K型恒星交集。

“谷”表示两团半径集中区之间行星较少，并不是某个半径被禁止。把平滑曲线与有限整数计数并排看时，先保留这个朴素含义。

在Fulton等图7上方，沿虚线的未修正半径直方图，与完备性修正后的分布分别走一遍。横坐标是行星半径，样本周期短于一百天。小半径处浅灰区域完备性低，在下方的样条拟合里被排除。

判断低谷有多锐利前，先看半径误差尺度。下方面板的曲线涉及拟合分布与测量抹平。附录C用模拟巡天检查修正过程，这些检查对应的是那份样本及其探测模型。

一个具体细节说明筛选必须匹配：论文排除了 $b>0.7$ 的探测，因此几何概率采用 $0.7R_\star/a$ 。如果另一份目录接受不同碰撞参数范围，直接照搬这个概率，就改变了问题。

Ho等图4按宿主质量分组，在周期半径平面上比较。式1让半径谷位置依赖周期和恒星质量。图5把行星沿斜率移到十天等效半径，并归一化亚海王星峰。纵坐标给出归一化后的相对密度，每星行星数还需要绝对搜寻尺度。

解释图6之前，先读式4至6怎样定义峰谷对比。对比值越大，相对低谷越深。分箱方式、参考斜率和归一化都属于这项比较。

如果自己画直方图，应当先换坐标，再把不同周期的半径加起来。否则一条倾斜但很窄的结构，投影后可能变成很浅、很宽的低谷。这就像照片上一条斜细纹，压到横轴后会铺开。

图8的灰色模型行星与彩色观测来自不同过程。第3.3节先调整谷外权重，再让半径误差把对象移到别的分箱，最后预测谷内数量。沿式9至16跟随这一步，所检验的是给定模型与加权过程。

不用运行逃逸模型，也能理解迁移。把一百颗已知行星放在一个半径边界下方，每颗有百分之二十的机会被测到上方，预期会跨过去二十颗。第二格有五十颗，每颗反向跨越概率百分之十，会回来五颗。观测数变成八十五和六十五，总计一百五十不变。

把这些概率写成每列和为一的矩阵。物理族群不变时，改变测量精度，也会改变迁移矩阵。比较谷内计数前，先让模型经过同一测量过程。

\begin{pmatrix}n_{\rm obs,1}\\n_{\rm obs,2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.8&0.1\\0.2&0.9\end{pmatrix}\begin{pmatrix}100\\50\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}85\\65\end{pmatrix}

这是独立选取的合成教学例子。

现在打开Zhu等式3。如果 $f_k$ 表示给定族群内，搜寻恒星拥有 $k$ 颗行星的比例，对 $f_k$ 求和得到宿主比例，对 $kf_k$ 求和得到每星行星数。后者除以前者，是行星系统内的平均多重度。

图7至9结合凌星多重度和凌星时刻变化信息推断系统结构。多颗行星可以共有近乎对齐的轨道面，因此漏掉伴星的机会，以及只看见一次凌星系统的比例，都依赖倾角模型。论文所报宿主比例，也包含它的族群和结构假设。

读一篇新研究时，先标出坐标轴或标题报告的是哪个量。半径分布改变，不一定意味着拥有行星的恒星比例也按同样比例改变。

F_{\rm host}=\sum_{k\ge1}f_k,\qquad \bar n_p=\sum_{k\ge1}k f_k

同一宿主在第一个和里计一次，在第二个和里按行星数计权。两者对应同一恒星与行星族群。

读论文的笔记，最后可以落在一项能区分解释的新测量上。半径告诉你行星伸展到哪里，补上质量才有助于区分整体成分和包层比例。年龄或宿主辐射历史，则在问演化过程。一个量变精确，不会自动给出其他量。

笔记保留三栏：实际测量样本、经过选择和误差后的预测族群，以及连接二者的物理假设。把模型曲线标为预测，把描述性拟合标为拟合。只比较经过兼容筛选和测量规则的量。

配套合成实验从已知平滑或已知双峰族群出发。增加半径散布会抹平测得的低谷，改变探测噪声则改变哪些行星进名单。这些可控比较帮助读图；真实十至三十天、二至四地球半径练习，回答的是它自己那块受限区域的发生率。