从几次探测推回一群行星

先说发生率数的是哪些行星

选定周期 $P$ 和半径 $R$ 组成的区域 $B$ 。周期以天计，半径以名义地球赤道半径计。 $f_B$ 表示区域内每颗搜寻恒星对应的行星数。它可以大于一，因为恒星可以拥有好几颗行星。

单有总数，还没有说明行星在区域内部怎样分布。用归一化形状 $h(P,R)$ 描述：在整个区域积分，结果为一。若形状在对数周期和对数半径上均匀，相同倍数范围会得到相同概率。

对数坐标的变化满足 $d\ln P=dP/P$ 。用线性坐标写对数均匀密度时，必须带上 $1/P$ 和 $1/R$ 。这些是换变量的权重，也叫雅可比因子。遗漏它们，会无意中偏向线性宽度较大的区间。

h(P,R)=\frac{1}{PR\ln(P_{\max}/P_{\min})\ln(R_{\max}/R_{\min})},\qquad \int_B h(P,R)\,dP\,dR=1

有限边界和对数均匀形状，规定了这次计算假设的族群。

对应阅读：A Probabilistic Approach to Kepler Completeness and Reliability for Exoplanet Occurrence Rates · IAU 2015 Resolution B3 nominal conversion constants

让整份搜寻给出一个预期计数

对搜寻恒星 $j$ ， $q_j(P,R)$ 表示一颗行星进入最终目录的概率。先按族群形状平均这个概率，再把所有搜寻恒星相加，得到有效搜寻数 $E_B$ 。

设每颗恒星的行星数独立服从泊松分布。按给定概率保留其中行星，相当于对泊松过程稀疏抽取；把各星保留下的行星相加，仍得到泊松计数，均值为 $f_BE_B$ 。

合成实验的行星数、轨道方向和测量噪声相互独立，这个假设便于直接检验。真实行星系统的结构可以让凌星机会相关，因此每星行星数模型和行星系统模型应当分别说明。

E_B=\sum_{j=1}^{N_\star}\int_B q_j(P,R)h(P,R)\,dP\,dR,\qquad p(n\mid f_B,E_B)=\frac{(f_BE_B)^n e^{-f_BE_B}}{n!}

发现计数

n

是整数。有效搜寻数以加权恒星数计，观测时长已经进入各星的选择概率。

对应阅读：A Probabilistic Approach to Kepler Completeness and Reliability for Exoplanet Occurrence Rates

把发生率的不确定性归一化

似然描述改变可能发生率时，观测到这个整数计数的机会怎样变。要得到发生率的后验密度，还需要给出先验并归一化。取形状 $\alpha$ 和率参数 $\beta$ 均为正的Gamma先验，正发生率上的密度正比于 $f_B^{\alpha-1}e^{-\beta f_B}$ ，归一化后总概率为一。

将它与泊松似然相乘，决定形状的幂指数增加 $n$ ，指数衰减的率参数增加 $E_B$ 。归一化后仍是Gamma分布。这里Gamma的“率参数”是分布的第二个参数，不能与正在推断的行星发生率混为一谈。

默认合成记录搜寻五千颗恒星，生成3038颗行星，发现79颗，有效搜寻数约 $121$ 。先验的形状与率参数均取二分之一。后验中位数约为每星 $0.651$ 颗，中央95%区间约为 $[0.518,0.805]$ 。生成均值 $0.600$ 落在区间内；一次成功案例还不能证明普遍覆盖率。

f_B\mid n,E_B\sim\operatorname{Gamma}(\alpha+n,\beta+E_B)

E_B>0

时，或

E_B=0,n=0

时，这个后验由相乘和归一化得到。若正计数对应严格零选择，似然为零，应检查模型或输入。

冻结合成记录，同样的5000颗搜寻恒星

情形	发现行星数	支持内曝光	后验中位数
浅凌星被藏住	$79$	$121$	$0.651$
安静的探测器	$97$	$143$	$0.677$
延长观测季	$98$	$142$	$0.69$
反复间断	$61$	$95.4$	$0.638$
本来就有半径谷	$96$	$142$	$0.676$

噪声变化保留生成族群；半径谷预设改变生成形状。似然使用整数发现数。

对应阅读：A Probabilistic Approach to Kepler Completeness and Reliability for Exoplanet Occurrence Rates

分类存疑的候选仍有整数真状态

设三颗候选的外部行星分类概率为 $0.9$ 、 $0.6$ 和 $0.2$ 。每个对象的真状态仍然是零或一。若分类相互独立，把三个二状态概率多项式相乘，得到零、一、二、三颗真实行星的概率分别为 $0.032$ 、 $0.344$ 、 $0.516$ 和 $0.108$ 。

预期计数是 $1.7$ ，但这个均值并不是泊松似然里的观测整数。一种有条件的做法，是对每份整数目录分别求归一化后验，再按外部分类概率平均。结果是几个Gamma密度的混合，不能简单把分数计数塞进一个Gamma形状参数。

这属于模块化计算：外部分类被当成给定信息，不再用推回的发生率更新它们。完整生成式模型还要说明，行星和假事件怎样进入候选样本。例如均值为 $f_BE_B+\eta$ 的一个泊松总数，无法独自区分发生率和假事件均值 $\eta$ 。另有独立建模的对照样本，才可能补上这条信息。

p(f_B\mid\text{external classifications},E_B)=\sum_{n=0}^{N_{\rm cand}}\pi_n\,\operatorname{Gamma}(f_B;\alpha+n,\beta+E_B)

\pi_n

为整数目录的归一化概率，需要说明独立性假设和外部分类来源。

对应阅读：A Probabilistic Approach to Kepler Completeness and Reliability for Exoplanet Occurrence Rates · Reliability Correction is Key for Robust Kepler Occurrence Rates

没有信息时，后验应当保留先验

没有发现行星，但有效搜寻数为正，资料会偏向较小发生率，并在给定先验下产生有限上界。若计数和有效搜寻数都为零，似然不随发生率变化，后验应当完全等于先验。

没有校准过的区域，与已经知道回收概率为零的区域不同。真实教程只在经验响应有支持的地方计算曝光；其余地方允许回收概率在零到一之间取值，再把最小和最大曝光传入归一化整数目录混合。

两端得到一族有条件后验，它们外侧的95%分位数组成包络。未知响应没有被赋予概率分布，因此不能把包络误读成唯一后验的95%区间。包络较宽，说明已有校准还留下哪些不确定部分。

对应阅读：A Probabilistic Approach to Kepler Completeness and Reliability for Exoplanet Occurrence Rates

半径误差会让行星跨过分箱边界

估计半径会在边界两侧散布。真实分箱 $i$ 中的行星进入观测分箱 $j$ 的概率，组成迁移矩阵 $M_{ji}$ 。还要保留范围外的分箱，每个真实分箱的转移概率才会加起来为一。应当先计算巡天选择，再应用测量模型预测观测分箱。

同一恒星周围的行星共有宿主半径误差。移动恒星半径，会把它的行星半径一起移动，也会改变几何凌星概率和固定物理行星的预测深度。只改目录归属、却固定选择概率，会漏掉部分影响。

合成显示把一半对数半径方差分给宿主共有项，另一半分给行星独立项。总数后验仍用全部探测事件，分箱迁移改变形状图，不改变这个总计数。真实教程另做恒星半径扰动，同时重算样本归属和曝光；未提供的恒星与凌星参数协方差会保留为限制。

对应阅读：The California-Kepler Survey III. A Gap in the Radius Distribution of Small Planets · Shallower radius valley around low-mass hosts

从几次探测推回一群行星

先说发生率数的是哪些行星

让整份搜寻给出一个预期计数

把发生率的不确定性归一化

分类存疑的候选仍有整数真状态

没有信息时，后验应当保留先验

半径误差会让行星跨过分箱边界

练习与解释性答案

动手检验预测

改变探测器，看漏掉的行星出现

来源与计算范围