哪些凌星能留下来

一次曝光平均了少掉的光

记时刻 $t$ 被行星挡住的星光比例为 $\delta(t)$ 。在均匀星盘模型里，这个量来自两个真实圆盘的重叠面积。凌星附近把投影路径近似成一条直弦，行星中心与恒星中心的距离随时间改变，重叠面积也跟着改变。

探测器不会冻结某个瞬间。它在一段曝光时长 $\Delta t$ 内收集光子，这里把时长换成天。预测的亮度亏损，是这段时间内被挡比例的平均值。刚进入或刚离开星盘时，平均值可能与曝光中央时刻差得很明显。

先在圆盘初次接触、行星完全进入、开始离开和重叠结束的时刻处分段。恒星处处等亮时，行星完全在星盘内的那几段深度恒定，只有部分重叠段需要数值积分。合成巡天采用三十分钟曝光，并按这些接触时刻分段计算。

\bar\delta_i=\frac{1}{\Delta t}\int_{t_i-\Delta t/2}^{t_i+\Delta t/2}\delta(t)\,dt

前面的

1/\Delta t

把累积亏损变成平均值，积分上下限和曝光时长都以天为单位。

先给教学实验一个便于计算的条件：周期和事件时刻已经知道。把每次曝光预期少掉的光记作 $s_i$ ，以百万分比计。测量值 $y_i$ 为正表示比基线少光。每次曝光加入独立高斯噪声，均值为零、标准差为 $\sigma$ 。

用预期形状给测量加权。凌星较深的样本权重大，几乎没挡光的样本权重小。再除以噪声尺度和模板长度，得到噪声方差为一的统计量 $Z$ 。

信号与模板相符时，统计量均值为 $\nu$ ；没有信号时，均值为零。通过阈值 $z_0$ 的概率，就是单位高斯分布在阈值上方的面积。随着预期信号增强，成功机会连续上升，不会在预期信号的某个数值处突然从零跳到一。

完整盲搜会尝试许多周期和模板，还要拒绝其他类型的假信号。Kepler的实测回收率包含这些搜寻和后续审查。这里的预设模板便于推导概率；真实教程会另用实际成功和失败的注入来校准条件响应。

Z=\frac{\sum_i s_i y_i}{\sigma\sqrt{\sum_i s_i^2}},\qquad \nu=\frac{\sqrt{\sum_i s_i^2}}{\sigma},\qquad P(Z>z_0)=\Phi(\nu-z_0)

\Phi

为标准正态分布的累积概率。合成阈值取

z_0=7.1

，这是给定的探测规则。

把连续凌星中心写成 $\phi+nP$ 。其中 $P$ 是周期， $n$ 是整数，未知相位 $\phi$ 在一个周期内均匀分布。观测计划则给出一组有资料的时间区间。

合成巡天只接受整份有限曝光模板都落在有效区间内的凌星。为此，把每个有效区间的两端各缩进去半个模板宽度。中心落在剩余区间里，才算一次完整事件。这样，紧挨长间断的凌星不会被当成已经测全。

完整做一个极限例题：先把事件缩成时间点，连续观测三十七天。十五天周期的行星想留下至少三次事件，第一次必须落在起始后的七天内。十五种相位日里有七种成功，概率约为 $0.4667$ 。

也可以连续移动相位来数。相位从零走到十五天，只有事件中心越过观测边界时，覆盖次数才会改变。若存在多个有效区间，把各端点对周期取余，就能把相位分成若干段，每段里的事件数恒定。把各段长度加权求和，便得到这套窗口规则的精确相位平均。

W(P)=\frac1P\int_0^P\mathbf1[N_{\rm covered}(P,\phi)\ge3]\,d\phi

事件够多时，指示函数取一，否则取零。时间点事件和单个连续跨度

T

的极限结果为

\max(0,\min(1,T/P-2))

。

擦过星盘边缘的凌星通常更短、更浅。短模板可能更容易塞进间断旁的一小段有效时间，浅信号却更难通过探测。碰撞参数会同时改变窗口条件和高斯回收概率。

应当把两者放在同一个平均里。固定半径和周期后，先选一个轨道方向，算出它的实际模板，再数完整拍到了几次，最后求通过噪声阈值的概率。完成这几步，才对方向和相位平均。

如果回收实验已经跑过含间断的观测计划，最终回收比例就已经包含间断损失。三十七天例子中的 $7/15$ 若再乘一次 $7/15$ ，会变成约 $0.2178$ ，原来的成功机会却约为 $0.4667$ 。第二个因子只有在描述另一次独立观测要求时才有意义。

q(P,R)=\int_0^1 d\mu\,\frac1P\int_0^P P(\mathrm{pass}\mid P,R,\mu,\phi)\,d\phi

这里

\mu=|\cos i|

。轨道不穿过星盘，或完整事件少于三次时，被积概率取零。

合成计算有几层数值近似。把族群积分网格加密后结果相近，并不能检验内部的曝光积分是否足够准确。每一层都需要独立参照。

交付的检查把圆盘重叠与独立直角坐标条带积分比较，把曝光平均与自适应时间积分比较，再把相位分段与直接枚举事件比较。另一份条件蒙特卡洛计算随机抽周期、半径、相位和碰撞参数，并把抽样误差与选择概率差值放在一起。

真实DR25资料还有一层提醒：简单的深度除以噪声代理量，与来源给出的预期多事件统计量不同。来源已经修正过的预期统计量，也不同于单次搜寻得到的测量统计量。教程会保留这些差别，再用实际注入结果拟合响应。