没发现行星的恒星也要留下

先把观看方向说清楚

把一颗球形恒星放在原点，半径记作$R_\star$，单位为米。行星半径为$R_p$，在半径$a$的圆轨道上运行。轨道角动量轴与视线的夹角叫倾角$i$。轨道侧对着我们时，倾角为$90^\circ$。

行星来到轨道前半圈、最接近星盘中心的投影位置时，两颗天体中心在天空中的距离为$a|\cos i|$。把这个距离除以恒星半径，得到无量纲的碰撞参数$b$。只要投影圆盘中心距离不大于两半径之和，两块圆盘就会接触。行星中心略微经过星盘外侧，也可能出现擦过星盘边缘的凌星。

对应阅读：About 30 percent of Sun-like Stars Have Kepler-like Planetary Systems

随机方向要按球面面积计数

想象把轨道轴随机指向空间。球面上面积相等的两块区域，应该得到相同概率。球面细带的面积正比于倾角余弦的改变量，因此$|\cos i|$在零到一之间均匀分布。倾角本身并不均匀；直接等概率抽倾角，会把太多方向放到极点附近。

凌星条件接受的余弦范围，是从零到$(R_\star+R_p)/a$。这段区间的长度就是几何凌星概率。概率最大只能到一，不能超过全部方向。轨道位于恒星外部时，通常得到一个远小于一的数。

做一个完整例子：恒星半径取名义太阳半径的四分之三，行星半径取三个名义地球赤道半径，周期二十天。恒星引力参数取名义太阳值的八成。先由圆轨道的开普勒关系求轨道半径，再用两天体半径之和除以它。相除之前，所有长度必须换成同一单位。结果为$a=2.00\times10^{10}\,\mathrm m$，凌星概率约$2.70\%$，平均约三十七条随机轨道才有一条对准。

对应阅读：About 30 percent of Sun-like Stars Have Kepler-like Planetary Systems

分母里要有失败的搜寻

设想巡天搜寻一千颗恒星。在选定的周期和半径区域，每颗行星综合几何、观测和回收后，有百分之二的机会进入名单。若发现十颗行星，十除以二十，得到每颗搜寻恒星对应半颗行星。这里的二十，是一千乘以百分之二，表示有效搜寻恒星数。

如果同样十次发现来自一万颗恒星，选择概率仍相同，有效搜寻数就变成二百，对应的每星行星数为二十分之一。只保留发现行星的十颗宿主，会把这两种完全不同的搜寻混成一样。

真实巡天中，每颗恒星的机会各不相同。固定行星半径时，小恒星的凌星更深；噪声大的恒星可能藏住同一信号。应当对全部搜寻恒星的概率求和。已经发现的宿主本来就偏向容易探测的对象，它们的平均概率不能替代整份母样本。

对应阅读：A Probabilistic Approach to Kepler Completeness and Reliability for Exoplanet Occurrence Rates

一颗恒星可以带着好几颗行星

每星行星数和拥有行星的恒星比例，回答的是两个问题。一百颗恒星中，五十颗行星可以分散在五十个系统里，也可以集中在十个丰富系统里。两种族群都是平均每星半颗行星，宿主比例却相差很大。

用一个便于计算的例子：每颗恒星的行星数相互独立，服从均值为$f$的泊松分布。泊松模型给零颗行星的概率为$e^{-f}$，至少有一颗的比例就是$1-e^{-f}$。平均每星十分之六颗行星时，这个比例约为百分之四十五。这个关系来自指定的多重度模型；行星在某些系统里集中出现时，可以有不同关系。

合成巡天保留五千颗搜寻恒星，并按这个泊松模型生成行星数。改变探测噪声时，生成的行星和轨道方向保持不变；改变生成时的每星行星数，才会重建族群。这样可以辨认发现名单为什么变了：是天空变了，还是测量改善了。

对应阅读：About 30 percent of Sun-like Stars Have Kepler-like Planetary Systems